京都大学 1964年 理系 第5問 解説

方針・初手

与えられた式を整えて、隣り合う項どうしの関係が見えやすい形にする。 そのうえで部分和の様子と積分したときの振る舞いを順に考える。

解法1

(イ)

与えられた式に対して、三角関数の積和の公式 $\cos A \sin B = \frac{1}{2} \{ \sin(A+B) - \sin(A-B) \}$ を用いる。 $A = x + \frac{a_{n+1} + a_n}{2}, \ B = \frac{a_{n+1} - a_n}{2}$ とすると、

$$ \begin{aligned} A+B &= x + a_{n+1} \\ A-B &= x + a_n \end{aligned} $$

となるため、$f_n(x)$ は次のように変形できる。

$$ f_n(x) = \frac{1}{2} \{ \sin(x + a_{n+1}) - \sin(x + a_n) \} $$

この級数の第 $N$ 部分和を $S_N(x)$ とおくと、途中の項が相殺されて次のように求まる。

$$ \begin{aligned} S_N(x) &= \sum_{n=1}^{N} f_n(x) \\ &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \{ \sin(x + a_{n+1}) - \sin(x + a_n) \} \\ &= \frac{1}{2} \{ \sin(x + a_{N+1}) - \sin(x + a_1) \} \\ &= \frac{1}{2} \{ \sin x \cos a_{N+1} + \cos x \sin a_{N+1} - \sin(x + a_1) \} \end{aligned} $$

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ がすべての $x$ について収束するためには、$\lim_{N \to \infty} S_N(x)$ がすべての $x$ で存在する必要がある。

$x = 0$ のとき、

$$ S_N(0) = \frac{1}{2} \{ \sin a_{N+1} - \sin a_1 \} $$

となり、これが収束するためには数列 $\{\sin a_n\}$ が収束することが必要である。 また、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、

$$ S_N \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \{ \cos a_{N+1} - \cos a_1 \} $$

となり、これが収束するためには数列 $\{\cos a_n\}$ が収束することが必要である。

逆に、数列 $\{\sin a_n\}$ および $\{\cos a_n\}$ がともに収束するとき、任意の $x$ に対して $S_N(x)$ は収束する。 したがって、求める必要十分条件は「数列 $\{\sin a_n\}$ および $\{\cos a_n\}$ がともに収束すること」である。

(ロ)

(イ) の条件が満たされているとき、$\lim_{n \to \infty} \sin a_n = \alpha, \ \lim_{n \to \infty} \cos a_n = \beta$ とおく。

和 $F(x)$ は $S_N(x)$ の極限として次のように求まる。

$$ \begin{aligned} F(x) &= \lim_{N \to \infty} S_N(x) \\ &= \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2} \{ \sin x \cos a_{N+1} + \cos x \sin a_{N+1} - \sin(x + a_1) \} \\ &= \frac{1}{2} ( \beta \sin x + \alpha \cos x ) - \frac{1}{2} \sin(x + a_1) \end{aligned} $$

次に、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} F(x) dx$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} F(x) dx &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{ \beta \sin x + \alpha \cos x - \sin(x + a_1) \} dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ -\beta \cos x + \alpha \sin x + \cos(x + a_1) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( \alpha + \cos \left( \frac{\pi}{2} + a_1 \right) \right) - ( -\beta + \cos a_1 ) \right\} \\ &= \frac{1}{2} ( \alpha - \sin a_1 + \beta - \cos a_1 ) \\ &= \frac{1}{2} ( \alpha + \beta - \sin a_1 - \cos a_1 ) \end{aligned} $$

一方、各項の積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_n(x) dx$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_n(x) dx &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{ \sin(x + a_{n+1}) - \sin(x + a_n) \} dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ -\cos(x + a_{n+1}) + \cos(x + a_n) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ -\cos \left( \frac{\pi}{2} + a_{n+1} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{2} + a_n \right) + \cos a_{n+1} - \cos a_n \right\} \\ &= \frac{1}{2} \{ \sin a_{n+1} - \sin a_n + \cos a_{n+1} - \cos a_n \} \\ &= \frac{1}{2} \{ ( \sin a_{n+1} + \cos a_{n+1} ) - ( \sin a_n + \cos a_n ) \} \end{aligned} $$

この級数の第 $N$ 部分和をとると、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{N} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_n(x) dx \right) &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \{ ( \sin a_{n+1} + \cos a_{n+1} ) - ( \sin a_n + \cos a_n ) \} \\ &= \frac{1}{2} \{ ( \sin a_{N+1} + \cos a_{N+1} ) - ( \sin a_1 + \cos a_1 ) \} \end{aligned} $$

$N \to \infty$ の極限をとると、級数の和が得られる。

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_n(x) dx \right) &= \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2} \{ ( \sin a_{N+1} + \cos a_{N+1} ) - ( \sin a_1 + \cos a_1 ) \} \\ &= \frac{1}{2} ( \alpha + \beta - \sin a_1 - \cos a_1 ) \end{aligned} $$

以上より、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} F(x) dx$ と $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_n(x) dx \right)$ の値は完全に一致する。

解説

式を整えると隣り合う項の関係が見え、部分和の形が整理される。そこで $\sin a_n,\cos a_n$ の極限の有無と級数の収束が直接つながる。 後半では $\int F(x)\,dx$ と $\sum \int f_n(x)\,dx$ を別々に計算し、その結果を比較する流れになる。

答え

(イ)

数列 $\{\sin a_n\}$ および $\{\cos a_n\}$ がともに収束すること。

(ロ) $F(x) = \frac{1}{2} ( \sin x \lim_{n \to \infty} \cos a_n + \cos x \lim_{n \to \infty} \sin a_n ) - \frac{1}{2} \sin(x + a_1)$ であり、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} F(x) dx$ と級数の和 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_n(x) dx \right)$ は一致する。