トップ› 東北大学› 1965年› 理系第5問

東北大学 1965年理系第5問解説

方針・初手

(1) 三角形の内接円と接線がなす角に注目する。接弦定理、または内心と接点を結ぶ直角三角形や円周角と中心角の関係を用いて、次の三角形の内角 $\alpha_{n+1}$ と $\alpha_n$ の関係を漸化式で表す。 (2) 内心 $I_n$ から各辺に下ろした垂線の長さが内接円の半径 $r_n$ であることを利用し、辺 $B_n C_n$ の長さを $r_n$ と内角 $\beta_n, \gamma_n$ で表して極限を計算する。

解法1

(1) $\triangle A_n B_n C_n$ の内接円の中心を $I_n$ とし、内接円と辺 $C_n A_n$, $A_n B_n$ との接点をそれぞれ $B_{n+1}$, $C_{n+1}$ とする。

円外の点 $A_n$ から引いた2本の接線の長さは等しいので、$A_n B_{n+1} = A_n C_{n+1}$ である。したがって、$\triangle A_n B_{n+1} C_{n+1}$ は二等辺三角形であり、その底角は、

$$ \angle A_n B_{n+1} C_{n+1} = \frac{\pi - \angle A_n}{2} = \frac{\pi - \alpha_n}{2} $$

と表される。一方、$\triangle A_n B_n C_n$ の内接円は $\triangle A_{n+1} B_{n+1} C_{n+1}$ の外接円でもある。円の接線 $A_n C_n$ と弦 $B_{n+1} C_{n+1}$ がなす角について接弦定理を用いると、

$$ \angle B_{n+1} A_{n+1} C_{n+1} = \angle A_n B_{n+1} C_{n+1} $$

が成り立つ。ここで、$\angle B_{n+1} A_{n+1} C_{n+1}$ は $\triangle A_{n+1} B_{n+1} C_{n+1}$ の内角 $A_{n+1}$ であり、その大きさは $\alpha_{n+1}$ であるから、

$$ \alpha_{n+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \alpha_n $$

という漸化式が得られる。これを変形すると、

$$ \alpha_{n+1} - \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \left( \alpha_n - \frac{\pi}{3} \right) $$

となる。数列 $\left\{ \alpha_n - \frac{\pi}{3} \right\}$ は初項 $\alpha_1 - \frac{\pi}{3}$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$ \alpha_n - \frac{\pi}{3} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \left( \alpha_1 - \frac{\pi}{3} \right) $$

よって、求める式は、

$$ \alpha_n = \frac{\pi}{3} + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \left( \alpha_1 - \frac{\pi}{3} \right) $$

(2) $\triangle A_n B_n C_n$ の内心 $I_n$ から辺 $B_n C_n$ に下ろした垂線の足は、接点 $A_{n+1}$ に他ならない。したがって、$\angle I_n A_{n+1} B_n = \angle I_n A_{n+1} C_n = \frac{\pi}{2}$ である。また、$I_n A_{n+1} = r_n$ であり、内心の性質から線分 $I_n B_n$, $I_n C_n$ はそれぞれ内角 $B_n$, $C_n$ の二等分線であるため、

$$ \angle I_n B_n A_{n+1} = \frac{\beta_n}{2}, \quad \angle I_n C_n A_{n+1} = \frac{\gamma_n}{2} $$

となる。直角三角形 $I_n B_n A_{n+1}$ および $I_n C_n A_{n+1}$ において、

$$ B_n A_{n+1} = \frac{r_n}{\tan \frac{\beta_n}{2}}, \quad C_n A_{n+1} = \frac{r_n}{\tan \frac{\gamma_n}{2}} $$

と表せる。点 $A_{n+1}$ は線分 $B_n C_n$ 上にあるため、

$$ B_n C_n = B_n A_{n+1} + A_{n+1} C_n = r_n \left( \frac{1}{\tan \frac{\beta_n}{2}} + \frac{1}{\tan \frac{\gamma_n}{2}} \right) $$

となる。これより、

$$ \frac{B_n C_n}{r_n} = \frac{1}{\tan \frac{\beta_n}{2}} + \frac{1}{\tan \frac{\gamma_n}{2}} $$

が得られる。 (1)の考察から、角 $B_n, C_n$ の大きさ $\beta_n, \gamma_n$ についても、$\alpha_n$ と同様の漸化式から一般項が求まる。

$$ \beta_n = \frac{\pi}{3} + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \left( \beta_1 - \frac{\pi}{3} \right) $$

$$ \gamma_n = \frac{\pi}{3} + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \left( \gamma_1 - \frac{\pi}{3} \right) $$

ここで $n \to \infty$ のとき $\left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \to 0$ であるから、極限はそれぞれ、

$$ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \frac{\pi}{3}, \quad \lim_{n \to \infty} \gamma_n = \frac{\pi}{3} $$

となる。関数 $\tan x$ は $x = \frac{\pi}{6}$ において連続であるから、極限を代入して計算することができ、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{B_n C_n}{r_n} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} + \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$

となる。

解説

図形の性質を利用して漸化式を立て、極限を求める標準的な融合問題である。 (1)は接弦定理に気づけば非常に簡潔に漸化式を立てることができる。接弦定理を用いない場合は、内接円の中心 $I_n$ を考え、四角形 $A_n C_{n+1} I_n B_{n+1}$ の内角の和から中心角 $\angle C_{n+1} I_n B_{n+1} = \pi - \alpha_n$ を求め、さらに円周角の定理を用いることで同様の結論を得ることができる。 (2)では「内接円の半径と辺の長さ」を直接結びつけるために、内心と接点で作られる直角三角形に注目して底辺の長さを書き下す発想が重要になる。$n \to \infty$ のとき、元の三角形の形状に関わらず内角がすべて $\frac{\pi}{3}$ に収束し、正三角形に近づいていくという結果も興味深い。