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京都大学 1963年理系第6問解説

方針・初手

まずは与えられた不等式の両辺の定積分を計算し、証明すべき不等式から積分記号を消去する。得られた三角関数の不等式について、すべて左辺にまとめて関数とおいて微分法を用いるか、三角関数の公式（半角の公式や合成）を用いて式変形を行い、指定された範囲で不等式が成り立つことを示す。

解法1

与えられた不等式の両辺の積分を計算する。

左辺は、

$$ \int_{0}^{x} \cos t dt = \Big[ \sin t \Big]_{0}^{x} = \sin x $$

右辺は、

$$ 2 \int_{0}^{x} \sin t dt = 2 \Big[ -\cos t \Big]_{0}^{x} = 2(-\cos x + 1) = 2 - 2\cos x $$

これらより、証明すべき不等式は次のようになる。

$$ \sin x > 2 - 2\cos x \iff \sin x + 2\cos x - 2 > 0 $$

ここで、$f(x) = \sin x + 2\cos x - 2$ とおき、$0 < x < \frac{\pi}{4}$ において $f(x) > 0$ となることを示す。 $f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = \cos x - 2\sin x = \cos x (1 - 2\tan x) $$

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ において $\cos x > 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $1 - 2\tan x$ の符号と一致する。 $f'(x) = 0$ となる $x$ を $\alpha$ とすると、$\tan \alpha = \frac{1}{2}$ である。 $0 = \tan 0 < \frac{1}{2} < 1 = \tan \frac{\pi}{4}$ であるから、$0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ を満たす $\alpha$ がただ1つ存在する。 $0 < x < \frac{\pi}{4}$ における $f(x)$ の増減を調べる。

(i)

$0 < x < \alpha$ のとき $\tan x < \frac{1}{2}$ より $f'(x) > 0$ となり、$f(x)$ は単調に増加する。

(ii)

$\alpha < x < \frac{\pi}{4}$ のとき $\tan x > \frac{1}{2}$ より $f'(x) < 0$ となり、$f(x)$ は単調に減少する。

したがって、$f(x)$ は $x = \alpha$ で最大値をとり、最小値の候補は区間の両端 $x \to +0$ および $x \to \frac{\pi}{4} - 0$ の極限値（境界値）となる。それぞれの値を調べると、

$$ f(0) = \sin 0 + 2\cos 0 - 2 = 0 $$

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} + 2\cos \frac{\pi}{4} - 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} - 2 = \frac{3}{\sqrt{2}} - 2 = \frac{3\sqrt{2} - 4}{2} $$

ここで、$(3\sqrt{2})^2 = 18$、$4^2 = 16$ より $3\sqrt{2} > 4$ であるから、$f\left(\frac{\pi}{4}\right) > 0$ である。以上より、区間の両端において $f(x) \geqq 0$ であり、区間内で極大となるため、$0 < x < \frac{\pi}{4}$ においてつねに $f(x) > 0$ が成り立つ。したがって、与えられた不等式は証明された。

解法2

解法1と同様に積分を計算し、示すべき不等式を次のように変形する。

$$ \sin x > 2(1 - \cos x) $$

両辺に倍角の公式（あるいは半角の公式） $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$、$1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ を適用する。

$$ 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} > 4\sin^2\frac{x}{2} $$

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ より $0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{8}$ であり、この範囲で $\sin\frac{x}{2} > 0$ であるから、両辺を $2\sin\frac{x}{2}$ で割ることができる。

$$ \cos\frac{x}{2} > 2\sin\frac{x}{2} $$

さらに、$\cos\frac{x}{2} > 0$ であるから、両辺を $\cos\frac{x}{2}$ で割ると、

$$ 1 > 2\tan\frac{x}{2} \iff \tan\frac{x}{2} < \frac{1}{2} $$

したがって、$0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{8}$ において $\tan\frac{x}{2} < \frac{1}{2}$ が成り立つことを示せばよい。ここで、$y = \tan \theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において単調増加であるから、$\tan\frac{\pi}{8}$ の値を調べる。 $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ に対してタンジェントの倍角の公式を用いると、

$$ \frac{2\tan\frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2\frac{\pi}{8}} = 1 $$

分母を払い整理すると $\tan^2\frac{\pi}{8} + 2\tan\frac{\pi}{8} - 1 = 0$ となり、$\tan\frac{\pi}{8} > 0$ より、

$$ \tan\frac{\pi}{8} = -1 + \sqrt{2} $$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より $\tan\frac{\pi}{8} \approx 0.414 < 0.5 = \frac{1}{2}$ である。したがって、$0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{8}$ の範囲において、

$$ \tan\frac{x}{2} < \tan\frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1 < \frac{1}{2} $$

が成り立つ。これを遡ることで元の不等式も成立することが証明された。

解法3

解法1と同様に、示すべき不等式を $\sin x + 2\cos x > 2$ と変形する。左辺に対して三角関数の合成を行うと、

$$ \sqrt{1^2 + 2^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{5} \sin(x + \alpha) $$

ただし、$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$、$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ を満たす $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ の角である。これより、示すべき不等式は次のように書ける。

$$ \sqrt{5} \sin(x + \alpha) > 2 \iff \sin(x + \alpha) > \frac{2}{\sqrt{5}} = \sin \alpha $$

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき、角 $x + \alpha$ の取りうる範囲は $\alpha < x + \alpha < \alpha + \frac{\pi}{4}$ である。ここで、区間の右端 $\alpha + \frac{\pi}{4}$ におけるサインの値を調べると、加法定理より、

$$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} $$

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ と $\frac{2}{\sqrt{5}}$ の大小を比較するためにそれぞれを平方すると、

$$ \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} = 0.9, \quad \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} = 0.8 $$

よって $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) > \sin \alpha$ である。また、$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} > \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$ より $\alpha > \frac{\pi}{4}$ であるから、開区間 $(\alpha, \alpha + \frac{\pi}{4})$ の中に $\frac{\pi}{2}$ が含まれる可能性がある（実際には含まれる）。しかし、$y = \sin \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ で最大値 $1$ をとり、区間の両端における値がともに $\sin \alpha$ 以上であるため、この開区間においてつねに

$$ \sin(x + \alpha) > \sin \alpha $$

が成り立つ。以上より、与えられた不等式は証明された。

解説

定積分を含む不等式の証明問題であるが、被積分関数が基本的な三角関数なので、まず積分を実行して具体的な不等式に直す。得られた $\sin x + 2\cos x > 2$ の証明については、微分法（解法1）、半角の公式を用いた式変形（解法2）、三角関数の合成（解法3）など複数のアプローチが可能である。微分法は汎用的な方法であるが、解法2のように積の形に直して評価する流れも整理しやすい。解法3は図形的なイメージが湧きやすいが、端点の大小関係の評価にひと手間かかる点に注意したい。