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京都大学 1964年理系第2問解説

方針・初手

与えられた最小公倍数を因数分解し、各3次式がどのような因数から構成されるかを特定する。最大公約数が $x+3$ であることと、各多項式の次数が3であることから、各3次式を $(x+3) \times (\text{2次式})$ の形に表し、残りの2次式部分が満たすべき条件を絞り込む。

解法1

条件(iii)より、3つの3次式の最小公倍数である5次式を $L(x)$ とおく。

$$ L(x) = x^5+x^4-41x^3-33x^2+180x-108 $$

$L(1) = 1+1-41-33+180-108 = 0$ となるため、因数定理により $L(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。組立除法などを用いて因数分解を進める。

$$ L(x) = (x-1)(x^4+2x^3-39x^2-72x+108) $$

さらに $x=1$ を代入すると再び $0$ になるため、もう一度 $x-1$ で割れる。

$$ L(x) = (x-1)^2(x^3+3x^2-36x-108) $$

ここで $x^3+3x^2-36x-108 = x^2(x+3) - 36(x+3) = (x+3)(x^2-36)$ と変形できるので、最終的に次のように因数分解される。

$$ L(x) = (x-1)^2(x+3)(x-6)(x+6) $$

求める3つの3次式を $P(x), Q(x), R(x)$ とする。条件(i)よりこれらの最高次係数は1であり、条件(ii)より最大公約数が $x+3$ であるから、

$$ \begin{cases} P(x) = (x+3)P_1(x) \\ Q(x) = (x+3)Q_1(x) \\ R(x) = (x+3)R_1(x) \end{cases} $$

とおける。ここで、$P_1(x), Q_1(x), R_1(x)$ は最高次係数が1の2次式であり、これら3つの多項式は共通の因数を持たない（最大公約数が1である）。

条件(iii)より、$P, Q, R$ の最小公倍数は $L(x)$ であるから、$P_1, Q_1, R_1$ の最小公倍数は $(x-1)^2(x-6)(x+6)$ となる。したがって、$P_1, Q_1, R_1$ は因数 $(x-1), (x-6), (x+6)$ を組み合わせてできる2次式でなければならない。また、因数の次数が最小公倍数を超えることはない。

このような2次式の候補は、以下の4つのみである。

$$ \begin{cases} A(x) = (x-1)^2 \\ B(x) = (x-1)(x-6) \\ C(x) = (x-1)(x+6) \\ D(x) = (x-6)(x+6) \end{cases} $$

$P, Q, R$ は互いに異なるため、$P_1, Q_1, R_1$ も互いに異なる。よって、上記4つの候補から3つを選ぶ組合せを考え、条件を満たすか確認する。

(ア)

$A(x), B(x), C(x)$ を選ぶ場合

これら3つの2次式はすべて因数 $(x-1)$ をもつ。したがって共通因数をもつことになり、最大公約数が1であるという条件に反するため不適。

(イ)

$A(x), B(x), D(x)$ を選ぶ場合

これら3式に共通の因数はない。また、3式の最小公倍数は $(x-1)^2(x-6)(x+6)$ となり条件を満たす。これらを $x+3$ に掛けたものが求める3次式の組となる。

$$ \begin{aligned} (x+3)A(x) &= (x+3)(x^2-2x+1) = x^3+x^2-5x+3 \\ (x+3)B(x) &= (x+3)(x^2-7x+6) = x^3-4x^2-15x+18 \\ (x+3)D(x) &= (x+3)(x^2-36) = x^3+3x^2-36x-108 \end{aligned} $$

(ウ)

$A(x), C(x), D(x)$ を選ぶ場合

これら3式に共通の因数はない。また、3式の最小公倍数は $(x-1)^2(x-6)(x+6)$ となり条件を満たす。

$$ \begin{aligned} (x+3)A(x) &= x^3+x^2-5x+3 \\ (x+3)C(x) &= (x+3)(x^2+5x-6) = x^3+8x^2+9x-18 \\ (x+3)D(x) &= x^3+3x^2-36x-108 \end{aligned} $$

(エ)

$B(x), C(x), D(x)$ を選ぶ場合

これら3式の最小公倍数は $(x-1)(x-6)(x+6)$ となり、$(x-1)^2$ が含まれないため最小公倍数の条件に反し、不適。

以上より、条件を満たす組は（イ）と（ウ）の2通りである。