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京都大学 2012年理系第4問解説

方針・初手

(1) 背理法を用いる。「$\sqrt[3]{2}$ が有理数である」と仮定し、互いに素な自然数を用いて分数で表し、矛盾を導く典型的な証明である。

(2)

$P(x)$ を $x^3 - 2$ で割った余り $R(x)$ を $ax^2 + bx + c$（$a, b, c$ は有理数）とおき、$P(\sqrt[3]{2}) = 0$ を代入して $a=b=c=0$ を示す。その際、(1) の「$\sqrt[3]{2}$ が無理数である」という事実を繰り返し用いる。

解法1

(1)

$\sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定する。このとき、互いに素な自然数 $p, q$ を用いて

$$ \sqrt[3]{2} = \frac{p}{q} $$

と表すことができる。両辺を3乗して分母を払うと、

$$ 2q^3 = p^3 \quad \cdots① $$

左辺 $2q^3$ は偶数であるから、$p^3$ も偶数である。$p$ が奇数ならば $p^3$ も奇数となるため、$p$ は偶数でなければならない。よって、自然数 $k$ を用いて $p = 2k$ と表せる。これを① に代入すると、

$$ 2q^3 = 8k^3 \implies q^3 = 4k^3 = 2(2k^3) $$

右辺は偶数であるから $q^3$ も偶数であり、したがって $q$ も偶数である。

これは、$p$ と $q$ がともに偶数（公約数 $2$ を持つ）であることを意味し、「$p$ と $q$ が互いに素である」という仮定に矛盾する。

ゆえに仮定は誤りであり、$\sqrt[3]{2}$ は無理数である。（証明終）

(2)

$P(x)$ は有理数係数の多項式であり、$x^3 - 2$ も有理数係数であるから、$P(x)$ を $x^3 - 2$ で割った商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ も有理数係数の多項式となる。割る式が3次式であるから余り $R(x)$ は2次以下であり、有理数 $a, b, c$ を用いて

$$ R(x) = ax^2 + bx + c $$

と表せる。すなわち、

$$ P(x) = (x^3 - 2)Q(x) + ax^2 + bx + c $$

条件より $P(\sqrt[3]{2}) = 0$ であるから、$x = \sqrt[3]{2}$ を代入すると $(\sqrt[3]{2})^3 - 2 = 0$ より

$$ a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c = 0 $$

$$ a\sqrt[3]{4} + b\sqrt[3]{2} + c = 0 \quad \cdots② $$

$a=b=c=0$ のみであることを示す。

$a=0$ を示す。

$a \neq 0$ と仮定する。② の両辺に $\sqrt[3]{2}$ を掛けると（$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = 2$）、

$$ 2a + b\sqrt[3]{4} + c\sqrt[3]{2} = 0 \quad \cdots③ $$

② $\times b$ $-$ ③ $\times a$ より $\sqrt[3]{4}$ を消去すると、

$$ (b^2 - ac)\sqrt[3]{2} = 2a^2 - bc \quad \cdots④ $$

$b^2 - ac \neq 0$ とすると、

$$ \sqrt[3]{2} = \frac{2a^2 - bc}{b^2 - ac} $$

右辺は有理数であるが、これは (1) に矛盾する。よって $b^2 - ac = 0$ であり、④ より $2a^2 - bc = 0$ も成り立つ。

$b^2 = ac$ の両辺に $b$ を掛けると $b^3 = abc$、$bc = 2a^2$ の両辺に $a$ を掛けると $abc = 2a^3$ であるから、

$$ b^3 = 2a^3 \implies \left(\frac{b}{a}\right)^3 = 2 \implies \frac{b}{a} = \sqrt[3]{2} $$

$a, b$ は有理数であるから $\dfrac{b}{a}$ も有理数となり、再び (1) に矛盾する。

ゆえに $a = 0$ でなければならない。

$b=0$ を示す。

$a=0$ のとき、② は $b\sqrt[3]{2} + c = 0$ となる。$b \neq 0$ と仮定すると $\sqrt[3]{2} = -\dfrac{c}{b}$ となり有理数になるため (1) に矛盾。よって $b = 0$。

$c=0$ を示す。

$a=0,\ b=0$ を代入すると、② は $c = 0$。

以上より $a=b=c=0$ が示された。したがって余り $R(x)$ は恒等的に $0$ であり、$P(x)$ は $x^3 - 2$ で割り切れる。（証明終）

解説

(1) は背理法を用いた無理数の証明の基本である。

(2) が本問のメインテーマである。「無理数 $\sqrt[3]{2}$ を代入して $0$ になる有理数係数の多項式は、$x^3-2$ を因数に持つ」という代数学の重要な性質（最小多項式の概念）を証明させる問題である。

余りを $ax^2+bx+c$ とおいた後、$a=b=c=0$ を導く過程が最大の山場となる。等式 $a\sqrt[3]{4} + b\sqrt[3]{2} + c = 0$ から $\sqrt[3]{4}$ を消去して $\sqrt[3]{2}$ の1次式に帰着させるという変形は、両辺に $\sqrt[3]{2}$ を掛けて連立方程式のように扱う手筋で非常に鮮やかである。