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京都大学 2016年理系第6問解説

方針・初手

因数定理を用いて $f(x^3)$ が $f(x)$ で割り切れる条件を、$f(x) = 0$ の解 $\alpha,\ \beta$ を用いて表します。
$f(x) = 0$ の解は $\alpha,\ \beta$ のみであるから、$f(\alpha^3) = 0$ かつ $f(\beta^3) = 0$ より、$\alpha^3 \in \{\alpha,\ \beta\}$ かつ $\beta^3 \in \{\alpha,\ \beta\}$ となります。
ここから生じる 4 つのケースに場合分けして $\alpha,\ \beta$ を求め、解と係数の関係から $a,\ b$ が虚数を含む条件を絞り込みます。

$f(x) = x^2 + ax + b = 0$ の 2 つの複素数解を $\alpha,\ \beta$ とする。

因数定理より $f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)$ と表せる。

条件 (イ) より $f(x^3) = (x^3 - \alpha)(x^3 - \beta)$ は $f(x)$ で割り切れる。

したがって $f(x) = 0$ の解である $x = \alpha,\ \beta$ を代入すると 0 になるから、

$$ f(\alpha^3) = 0 \quad \text{かつ} \quad f(\beta^3) = 0 $$

$f(x) = 0$ の解は $\alpha,\ \beta$ のみであるから、

$$ \alpha^3 \in \{\alpha,\ \beta\} \quad \text{かつ} \quad \beta^3 \in \{\alpha,\ \beta\} $$

これより、以下の 4 つの場合が考えられる。

(i) $\alpha^3 = \alpha$ かつ $\beta^3 = \beta$ のとき

$\alpha(\alpha^2 - 1) = 0$ より $\alpha \in \{0,\ 1,\ -1\}$。同様に $\beta \in \{0,\ 1,\ -1\}$。

$\alpha,\ \beta$ はともに実数となる。解と係数の関係より $a = -(\alpha+\beta),\ b = \alpha\beta$ も実数となり、条件 (ロ)「$a,\ b$ の少なくとも一方は虚数」に反するため不適。

(ii) $\alpha^3 = \alpha$ かつ $\beta^3 = \alpha$ のとき

(i) と同様に $\alpha \in \{0,\ 1,\ -1\}$ である。

$\alpha = 0$ のとき：$\beta^3 = 0$ より $\beta = 0$。$a,\ b$ が実数となり不適。
$\alpha = 1$ のとき：$\beta^3 = 1$。$\beta = 1$ は実数係数となり不適。$\beta = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$ のとき、

$$ a = -(1+\beta) = -\frac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} = \frac{-1 \mp \sqrt{3}\,i}{2} \quad (\text{複号同順}) $$

$$ b = 1 \cdot \beta = \frac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \quad (\text{複号同順}) $$

$a,\ b$ は虚数であり、条件 (ロ) を満たす。対応する 2 次式は

$$ f(x) = x^2 - \frac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}\,x + \frac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \quad (\text{複号同順}) $$

$\alpha = -1$ のとき：$\beta^3 = -1$。$\beta = -1$ は不適。$\beta = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$ のとき、

$$ a = -(-1+\beta) = 1 - \beta = \frac{1 \mp \sqrt{3}\,i}{2} \quad (\text{複号同順}) $$

$$ b = -1 \cdot \beta = \frac{-1 \mp \sqrt{3}\,i}{2} \quad (\text{複号同順}) $$

$a,\ b$ は虚数であり、条件 (ロ) を満たす。対応する 2 次式は

$$ f(x) = x^2 + \frac{1 \mp \sqrt{3}\,i}{2}\,x + \frac{-1 \mp \sqrt{3}\,i}{2} \quad (\text{複号同順}) $$

(iii) $\alpha^3 = \beta$ かつ $\beta^3 = \beta$ のとき

(ii) において $\alpha$ と $\beta$ の役割を入れ替えたものに過ぎない。$a,\ b$ は $\alpha,\ \beta$ の対称式であるから、得られる 2 次式は (ii) と同じである。

(iv) $\alpha^3 = \beta$ かつ $\beta^3 = \alpha$ のとき

$\alpha^3 = \beta$ を $\beta^3 = \alpha$ に代入すると、$\alpha^9 = \alpha$。

$$ \alpha(\alpha^8 - 1) = 0 \implies \alpha(\alpha^4 - 1)(\alpha^4 + 1) = 0 $$

$\alpha(\alpha^4 - 1) = 0$ のとき：$\alpha \in \{0,\ 1,\ -1,\ i,\ -i\}$。
- $\alpha = 0,\ \pm 1$ のとき：$\beta = \alpha^3 = \alpha$ となり (i) に帰着。$a,\ b$ は実数で不適。
- $\alpha = i$ のとき：$\beta = i^3 = -i$。$a = -(i+(-i)) = 0,\ b = i(-i) = 1$。いずれも実数で不適。
- $\alpha = -i$ のとき：同様に $a = 0,\ b = 1$ で不適。
$\alpha^4 + 1 = 0$ のとき：$\alpha^4 = -1$。

$$ b = \alpha\beta = \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha^4 = -1 $$

$$ a = -(\alpha + \beta) = -(\alpha + \alpha^3) = -\alpha(1 + \alpha^2) $$

$$ a^2 = \alpha^2(1 + \alpha^2)^2 = \alpha^2(1 + 2\alpha^2 + \alpha^4) = \alpha^2 \cdot 2\alpha^2 = 2\alpha^4 = -2 $$

したがって、$a = \pm\sqrt{2}\,i$ となる。$a$ は虚数であるから条件 (ロ) を満たす。対応する 2 次式は

$$ f(x) = x^2 \pm \sqrt{2}\,i\,x - 1 $$

以上より、条件を満たす 2 次式がすべて求められた。