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京都大学 1971年理系第1問解説

方針・初手

(i) は、任意の実数幅 $1$ の閉区間に必ず整数が少なくとも一つ含まれることを利用し、$x$ 座標と $y$ 座標についてそれぞれ独立に考える。

(ii) は、直接格子点の存在を示すのではなく、(i) の結果を利用する方針をとる。任意の向き・位置にある一辺 $\sqrt{2}$ の正方形の中に、「一辺が $1$ で座標軸に平行な正方形」が常に完全に含まれることを示すことで、題意を証明する。

解法1

(i)

辺の長さが $1$ で、辺が座標軸に平行な正方形の領域を $D$ とする。 $D$ はある実数 $a, b$ を用いて、以下の不等式を満たす点 $(x, y)$ の集合として表すことができる。

$$ a \leqq x \leqq a+1 \quad \text{かつ} \quad b \leqq y \leqq b+1 $$

任意の実数 $a$ に対して、$m \leqq a < m+1$ を満たす整数 $m$ がただ一つ存在する。このとき、辺々から導かれる関係式は以下のようになる。

$$ a \leqq m+1 $$

また、$m < a+1$ であるから、次が成り立つ。

$$ m+1 \leqq a+1 $$

これらを合わせると、$a \leqq m+1 \leqq a+1$ となり、$x = m+1$ は区間 $[a, a+1]$ に含まれる整数である。同様に、実数 $b$ に対しても $b \leqq n+1 \leqq b+1$ を満たす整数 $n+1$ が存在する。

したがって、点 $(m+1, n+1)$ は領域 $D$ に含まれる。 $m+1$ と $n+1$ はともに整数であるから、この点は格子点である。以上より、領域 $D$ は少なくとも一つの格子点を含むことが証明された。

(ii)

辺の長さが $\sqrt{2}$ の正方形を $S$ とする。対称性から、$S$ の辺が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とするとき、$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲で考えても一般性を失わない。 $S$ の中心を $P(x_c, y_c)$ とする。 $P$ を原点 $(0,0)$ に一致させるように $S$ を平行移動した正方形を $S_0$ とする。

$S_0$ は原点を中心とし、各辺の原点からの距離が $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ の正方形であるから、その内部および周は以下の4つの不等式をすべて満たす領域として表される。

$$ \begin{cases} x \cos\theta + y \sin\theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -x \cos\theta - y \sin\theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -x \sin\theta + y \cos\theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x \sin\theta - y \cos\theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} $$

この領域 $S_0$ に含まれ、原点を中心とし、各辺が座標軸に平行な正方形 $T_0$ の最大の一辺の長さを $c$ とする。 $T_0$ の領域は $|x| \leqq \frac{c}{2}$ かつ $|y| \leqq \frac{c}{2}$ であり、これが $S_0$ に含まれるための条件は、$T_0$ の4つの頂点 $(\pm\frac{c}{2}, \pm\frac{c}{2})$ が $S_0$ に含まれることである。 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ より $\cos\theta > 0, \sin\theta \geqq 0$ であるため、頂点 $(\frac{c}{2}, \frac{c}{2})$ を第1式の左辺に代入した値が最大となる。したがって、$T_0$ が $S_0$ に含まれるための条件は次のように表される。

$$ \frac{c}{2}(\cos\theta + \sin\theta) \leqq \frac{1}{\sqrt{2}} $$

これを $c$ について解くと、以下のようになる。

$$ c \leqq \frac{\sqrt{2}}{\cos\theta + \sin\theta} $$

分母を三角関数の合成を用いて変形する。

$$ \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) $$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲において、$\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、以下の評価が成り立つ。

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1 $$

各辺に $\sqrt{2}$ を掛けると次のようになる。

$$ 1 \leqq \cos\theta + \sin\theta \leqq \sqrt{2} $$

したがって、$c$ のとりうる最大値について以下の不等式が成り立つ。

$$ c = \frac{\sqrt{2}}{\cos\theta + \sin\theta} \geqq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 $$

これは、$S_0$ の内部に、一辺の長さが $1$ 以上で各辺が座標軸に平行な正方形が含まれることを意味する。平行移動を行っても図形の包含関係や格子点の相対的な位置関係は変わらないため、元の正方形 $S$ の内部にも一辺の長さが $1$ 以上の座標軸に平行な正方形 $T$ が含まれる。 $T$ は、その部分集合として一辺の長さが $1$ の座標軸に平行な正方形 $T'$ を完全に含む。 (i) の結果より、$T'$ は少なくとも1つの格子点を含む。したがって、$T'$ を包含する $S$ も、どんな位置にあっても少なくとも1つの格子点を含むことが証明された。

解説

(i) は実数の連続性と整数の離散性に関する基本事項である。区間の長さが $1$ であれば必ず整数を捕捉できるという直感的な事実を、厳密に数式で表現できるかが問われている。

(ii) は直接的に格子点の存在を示そうとすると、正方形の傾きと格子点の配置のずれを扱うことになり非常に難航する。ここで重要なのは、「(i) の結果をどのように利用するか」という視点である。「格子点を必ず含むと分かっている図形（一辺 $1$ の平行な正方形）」を、与えられた一辺 $\sqrt{2}$ の正方形の内部にスッポリと収めることができるか（図形の包含関係）という幾何的な問題に帰着させる発想が鍵となる。三角関数の合成を用いた図形のサイズ評価は、このような領域の包含問題における典型的な処理である。