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京都大学 2021年理系第6問解説

方針・初手

問1：命題「$3^n - 2^n$ が素数ならば $n$ も素数である」を直接証明するのは難しいため、対偶である「$n$ が合成数ならば $3^n - 2^n$ も合成数である」を示す方針をとります。$n = pq$ ($p \ge 2, q \ge 2$) とおき、因数分解の公式 $x^q - y^q = (x-y)(x^{q-1} + x^{q-2}y + \dots + y^{q-1})$ を利用して積の形を作ります。
問2：曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線が原点を通るための条件を立式すると、$t f'(t) - f(t) = 0$ となります。この式から、商の微分法を連想して関数 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ を定義し、平均値の定理（またはロルの定理）を用いて証明します。

解法1

問1

$n$ は $2$ 以上の整数とする。命題「$3^n - 2^n$ が素数ならば $n$ も素数である」の対偶である「$n$ が素数でない（合成数である）ならば、$3^n - 2^n$ は素数でない（合成数である）」を証明する。

$n$ が素数でない $2$ 以上の整数とすると、$n$ は $2$ 以上の整数 $p, q$ を用いて $n = pq$ と表せる。このとき、

$$ 3^n - 2^n = 3^{pq} - 2^{pq} = (3^p)^q - (2^p)^q $$

因数分解の公式 $x^q - y^q = (x-y)(x^{q-1} + x^{q-2}y + \dots + xy^{q-2} + y^{q-1})$ を用いると、

$$ 3^n - 2^n = (3^p - 2^p)\{(3^p)^{q-1} + (3^p)^{q-2} \cdot 2^p + \dots + (2^p)^{q-1}\} $$

となる。 $p \ge 2$ より、第1因数は $3^p - 2^p \ge 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 > 1$ である。また、$q \ge 2$ より、第2因数も明らかに $1$ より大きい整数である。したがって、$3^n - 2^n$ は $1$ より大きい $2$ つの整数の積として表されるため、合成数である。よって対偶が真であるから、元の命題も真である。（証明終）

問2

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は

$$ y - f(t) = f'(t)(x - t) $$

$$ y = f'(t)x - t f'(t) + f(t) $$

この接線が原点 $(0,0)$ を通るための条件は、この直線の $y$ 切片が $0$ になること、すなわち

$$ -t f'(t) + f(t) = 0 \iff t f'(t) - f(t) = 0 $$

を満たす実数 $t$ が存在することである。

ここで、関数 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ を考える。 $a > 1$ より、区間 $[1, a]$ において分母 $x \neq 0$ であるから、$f(x)$ が微分可能であることより、$g(x)$ も区間 $[1, a]$ において連続かつ微分可能である。 $g(x)$ を微分すると、商の微分法より

$$ g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} $$

となる。また、問題の仮定より $f(a) = af(1)$ であるから、両辺を $a \ (>0)$ で割ると $\frac{f(a)}{a} = f(1)$ となる。したがって、

$$ g(1) = \frac{f(1)}{1} = f(1) $$

$$ g(a) = \frac{f(a)}{a} = f(1) $$

より、$g(1) = g(a)$ が成り立つ。関数 $g(x)$ について区間 $[1, a]$ でロルの定理を適用すると、

$$ g'(c) = 0 \quad (1 < c < a) $$

を満たす実数 $c$ が少なくとも1つ存在する。 $g'(c) = 0$ より

$$ \frac{c f'(c) - f(c)}{c^2} = 0 $$

$c > 1$ より $c^2 \neq 0$ であるから

$$ c f'(c) - f(c) = 0 $$

が成り立つ。これは、曲線 $y = f(x)$ の $x = c$ における接線が原点を通ることを示している。以上より、題意は示された。（証明終）

解説

問1は、素数に関する証明で頻出の「対偶法」を用いる問題です。「素数であること」を式で直接扱うのは困難ですが、対偶をとって「合成数であること（積の形に分解できること）」を示す方針に切り替えると、累乗の差の因数分解公式が適用できます。

問2は、接線の方程式の切片から導かれる式 $t f'(t) - f(t) = 0$ を見て、直感的に $\left( \frac{f(t)}{t} \right)'$ の分子の形であると見抜けるかが最大のポイントです。商の微分法を逆向きに捉える発想です。また、与えられた条件式 $f(a) = af(1)$ を $\frac{f(a)}{a} = \frac{f(1)}{1}$ と変形することで、関数 $\frac{f(x)}{x}$ が $x=1$ と $x=a$ で同じ値をとることが分かり、ロルの定理（平均値の定理）の適用へと自然に繋がります。