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京都大学 1971年理系第2問解説

方針・初手

与えられた等式の両辺の共役をとることで $\bar{z}$ を消去し、等式を満たす $z$ が存在するための必要条件を導く。その後、得られた条件を仮定したときに、実際に等式を満たす $z$ を具体的に構成することで十分性を示す。

解法1

与えられた方程式を以下とする。

$$ z + \alpha \bar{z} + \beta = 0 \cdots (1) $$

(i) 必要性の証明

(1) を満たす複素数 $z$ が存在すると仮定する。

(1) の両辺の共役をとると、

$$ \bar{z} + \bar{\alpha} z + \bar{\beta} = 0 $$

ここで、$|\alpha| = 1$ より $\alpha \bar{\alpha} = 1$ であるから、$\bar{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ となる。これを代入すると、

$$ \bar{z} + \frac{1}{\alpha} z + \bar{\beta} = 0 $$

両辺に $\alpha$ を掛けると、

$$ \alpha \bar{z} + z + \alpha \bar{\beta} = 0 \cdots (2) $$

(1) より $\alpha \bar{z} = -z - \beta$ であるから、これを (2) に代入すると、

$$ (-z - \beta) + z + \alpha \bar{\beta} = 0 $$

$$ \alpha \bar{\beta} - \beta = 0 $$

したがって、$\alpha \bar{\beta} = \beta$ が成り立つ。

(ii) 十分性の証明

$\alpha \bar{\beta} = \beta$ が成り立つと仮定する。

このとき、複素数 $z = -\frac{\beta}{2}$ を考えると、

$$ \begin{aligned} z + \alpha \bar{z} + \beta &= -\frac{\beta}{2} + \alpha \overline{\left(-\frac{\beta}{2}\right)} + \beta \\ &= \frac{\beta}{2} - \frac{\alpha \bar{\beta}}{2} \end{aligned} $$

仮定 $\alpha \bar{\beta} = \beta$ を用いると、

$$ \begin{aligned} z + \alpha \bar{z} + \beta &= \frac{\beta}{2} - \frac{\beta}{2} \\ &= 0 \end{aligned} $$

となり、$z = -\frac{\beta}{2}$ は (1) を満たす。

よって、(1) を満たす $z$ が存在することが示された。

(i), (ii) より、求める必要十分条件は $\alpha \bar{\beta} = \beta$ であることが示された。

解法2

$\alpha$ は $|\alpha| = 1$ を満たす複素数であるから、絶対値が $1$ の複素数 $w$ を用いて $\alpha = \frac{w}{\bar{w}}$ と表すことができる。（たとえば $\alpha = \cos \theta + i \sin \theta$ のとき、$w = \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}$ とすればよい。）

これを与えられた方程式に代入すると、

$$ z + \frac{w}{\bar{w}} \bar{z} + \beta = 0 $$

両辺に $\bar{w}$ を掛けると、

$$ \bar{w} z + w \bar{z} + \bar{w} \beta = 0 $$

ここで、$Z = \bar{w} z$ とおくと、$\bar{Z} = \overline{\bar{w} z} = w \bar{z}$ であるから、上式は次のように書き換えられる。

$$ Z + \bar{Z} + \bar{w} \beta = 0 \cdots (3) $$

任意の複素数 $Z$ に対して $Z + \bar{Z} = 2 \operatorname{Re}(Z)$ は実数であるから、(3) を満たす複素数 $Z$ が存在するための必要十分条件は、$\bar{w} \beta$ が実数であることである。

$\bar{w} \beta$ が実数であるための条件は、$\bar{w} \beta = \overline{\bar{w} \beta}$ より、

$$ \bar{w} \beta = w \bar{\beta} $$

両辺に $\frac{1}{\bar{w}}$ を掛けると、

$$ \beta = \frac{w}{\bar{w}} \bar{\beta} $$

$\alpha = \frac{w}{\bar{w}}$ であるから、

$$ \beta = \alpha \bar{\beta} $$

となり、これが方程式を満たす $Z$ （すなわち $z$）が存在するための必要十分条件である。

解説

方程式を満たす解の存在条件を求める問題である。

解法1は、共役複素数の性質を用いて必要条件を絞り込み、その後、具体的な解を一つ見つけることで十分性を示すアプローチである。解の存在を示すには「具体的に1つ構成する」ことが非常に有効な手段となる。

解法2は、絶対値が $1$ の複素数を $\frac{w}{\bar{w}}$ と表す工夫により、同値変形のみで一気に証明するアプローチである。これにより $Z + \bar{Z}$ という実数条件に帰着させることができ、論理の流れが見えやすくなる。複素数平面において対称性を利用する際の強力な定石である。