名古屋大学 1972年 文系 第5問 解説

方針・初手

領域 $D$ を不等式で表し、ある $x$ 座標を固定して、その直線上の格子点の個数を数え上げて和をとる。本問では $y$ 座標を固定するよりも $x$ 座標を固定して縦に数える方が $\sum$ 計算の公式を適用しやすい。その後、面積を定積分で求め、極限を計算する。

解法1

(1)

領域 $D$ は、不等式 $x^2 \le y \le n^2$ で表される領域である。

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = n^2$ の交点の $x$ 座標は、$x^2 = n^2$ より $x = \pm n$ である。したがって、領域 $D$ に含まれる格子点の $x$ 座標は、$-n \le x \le n$ を満たす整数である。

整数 $x = k \ (-n \le k \le n)$ を固定したとき、条件を満たす格子点の $y$ 座標は $k^2 \le y \le n^2$ を満たす整数である。

この範囲にある整数の個数は、$n^2 - k^2 + 1$ 個である。

したがって、$D$ 上にある格子点の総数 $L_n$ は、これらを $k=-n$ から $k=n$ まで足し合わせたものになる。

$$ \begin{aligned} L_n &= \sum_{k=-n}^{n} (n^2 - k^2 + 1) \\ &= \sum_{k=-n}^{n} (n^2 + 1) - \sum_{k=-n}^{n} k^2 \\ &= (n^2 + 1)(2n + 1) - \left( 0 + 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 \right) \\ &= (n^2 + 1)(2n + 1) - 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= \frac{2n+1}{3} \{ 3(n^2+1) - n(n+1) \} \\ &= \frac{2n+1}{3} (3n^2 + 3 - n^2 - n) \\ &= \frac{1}{3} (2n+1)(2n^2 - n + 3) \\ &= \frac{1}{3} (4n^3 - 2n^2 + 6n + 2n^2 - n + 3) \\ &= \frac{1}{3} (4n^3 + 5n + 3) \end{aligned} $$

(2)

$D$ の面積 $S_n$ は定積分によって次のように求められる。被積分関数は偶関数であるため、積分区間を半分にして計算する。

$$ \begin{aligned} S_n &= \int_{-n}^{n} (n^2 - x^2) dx \\ &= 2 \int_{0}^{n} (n^2 - x^2) dx \\ &= 2 \left[ n^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_0^n \\ &= 2 \left( n^3 - \frac{n^3}{3} \right) \\ &= \frac{4}{3} n^3 \end{aligned} $$

よって、求める極限は次のようになる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{L_n} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{4}{3}n^3}{\frac{1}{3}(4n^3+5n+3)} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{4n^3}{4n^3+5n+3} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{4}{4 + \frac{5}{n^2} + \frac{3}{n^3}} \\ &= 1 \end{aligned} $$

解説

領域内の格子点数を数える典型的な問題である。格子点の個数を求める際は、$x$ 軸または $y$ 軸に平行な直線のどちらで切って数えるかを選択する。本問では $x=k$ で切ると $y$ の範囲が簡単に求まり、かつ $\sum k^2$ の公式に帰着できるため容易に計算できる。

面積 $S_n$ と格子点数 $L_n$ の比の極限が $1$ になるのは、各格子点を中心とした面積 $1$ の正方形（面積要素）を考えると、領域のサイズが十分に大きくなるにつれて、領域全体の面積と格子点数が対応する正方形の総面積と近似的に一致していくという性質を反映している。

答え

(1) $L_n = \frac{1}{3}(4n^3+5n+3)$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{L_n} = 1$