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京都大学 1977年理系第5問解説

方針・初手

（i）は、三角形の3辺の長さを文字でおき、ヘロンの公式を用いて面積を数式で表現する方法と、楕円の軌跡を用いて図形的に最大値をとる形状を調べる方法が考えられます。（ii）は、（i）の結論を利用して、「局所的に面積を最大化する」ことを対角線で分割した2つの三角形に対して繰り返し適用することで辺の長さを等しくする方法が簡明です。

解法1

(i)

三角形の3辺の長さを $a, b, c$ とし、面積を $S$ とする。問題の条件より、$b+c = m$ である。ヘロンの公式より、面積 $S$ は

$$ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

ただし、$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+m}{2}$ である。 $a, m$ は一定であるから、$s$ および $s-a$ は定数である。したがって、$S$ が最大になるのは $(s-b)(s-c)$ が最大になるときである。三角形の成立条件より、$s-b = \frac{a+c-b}{2} > 0$、$s-c = \frac{a+b-c}{2} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ \sqrt{(s-b)(s-c)} \leqq \frac{(s-b)+(s-c)}{2} $$

が成り立つ。右辺の分子を計算すると、

$$ (s-b)+(s-c) = 2s-(b+c) = (a+m)-m = a $$

となり、右辺は $\frac{a}{2}$ で一定である。したがって、$(s-b)(s-c)$ が最大となるのは等号成立時であり、その条件は

$$ s-b = s-c $$

すなわち $b = c$ のときである。このとき、他の2辺の長さが等しくなるため、面積が最大となる三角形は二等辺三角形であることが示された。

(ii)

周囲の長さが一定値 $L$ である四辺形ABCDを考える。対角線ACを引き、四辺形を $\triangle\text{ABC}$ と $\triangle\text{CDA}$ に分割する。四辺形ABCDの面積が最大であるとき、対角線ACの長さを固定し、かつ $\text{AB}+\text{BC}$ と $\text{CD}+\text{DA}$ の和をそれぞれ一定に保ったまま点B, Dを動かしたとしても、各三角形の面積は最大でなければならない。（i）の結果より、$\triangle\text{ABC}$ の面積が最大となるのは $\text{AB} = \text{BC}$ のときであり、$\triangle\text{CDA}$ の面積が最大となるのは $\text{CD} = \text{DA}$ のときである。同様に、対角線BDを引き、$\triangle\text{BCD}$ と $\triangle\text{DAB}$ について考えると、面積が最大であるためには（i）より $\text{BC} = \text{CD}$ かつ $\text{DA} = \text{AB}$ でなければならない。これらより、$\text{AB} = \text{BC} = \text{CD} = \text{DA}$ が成り立つため、面積が最大となる四辺形は4辺の長さがすべて等しいひし形である。次に、1辺の長さが $\frac{L}{4}$ のひし形において、隣り合う2辺のなす角を $\theta$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) とすると、その面積 $S'$ は、

$$ S' = \left(\frac{L}{4}\right)^2 \sin \theta $$

と表される。 $S'$ が最大となるのは $\sin \theta = 1$、すなわち $\theta = 90^\circ$ のときである。すべての辺の長さが等しく、内角が $90^\circ$ である四辺形は正方形である。よって、周囲の長さが一定な四辺形のうち、面積最大のものは正方形であることが示された。

解法2

(i)

図形的な性質を利用する。底辺を固定された線分BCとし、その長さを $\text{BC} = a$ とする。残りの頂点Aについて、$\text{AB} + \text{AC} = m$ ($m > a$) が成り立つから、点Aは点B, Cを焦点とし、長軸の長さが $m$ の楕円上を動く。 $\triangle\text{ABC}$ の面積は、点Aから直線BCに下ろした垂線の長さを $h$ とすると $\frac{1}{2} a h$ と表せるため、面積が最大になるのは高さ $h$ が最大となるときである。点Aが楕円上を動くとき、直線BCからの距離 $h$ が最大となるのは、点Aが楕円の短軸の端点に位置するときである。短軸は線分BCの垂直二等分線であるため、このとき点Aは線分BCの垂直二等分線上にあり、$\text{AB} = \text{AC}$ となる。よって、面積最大のものは二等辺三角形であることが示された。

(ii)

四辺形の4辺の長さを $a, b, c, d$ とし、半周長を $s = \frac{a+b+c+d}{2}$ とする。周囲の長さ $2s$ は一定である。四辺形の面積 $S$ について、対角の和の半分を $\phi$ とすると、ブレートシュナイダーの公式より

$$ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \phi} $$

と表される。$a,b,c,d$ を固定したとき、これが最大となるのは $\cos^2 \phi = 0$、すなわち向かい合う角の和が $180^\circ$ となり四辺形が円に内接するときである。このとき、面積はブラフマグプタの公式より

$$ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$

となる。相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ \sqrt[4]{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \leqq \frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)+(s-d)}{4} $$

が成り立つ。右辺の分子を計算すると、

$$ (4s - a - b - c - d) = 4s - 2s = 2s $$

となり、右辺は $\frac{s}{2}$ で一定となる。よって、積 $(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$ が最大となるのは、等号が成立するとき、すなわち

$$ s-a = s-b = s-c = s-d $$

のときである。これは $a = b = c = d$ を意味する。 4辺の長さが等しい四辺形（ひし形）であり、かつ円に内接する（対角の和が $180^\circ$ である）ため、すべての内角は $90^\circ$ となる。したがって、面積最大の四辺形は正方形であることが示された。

解説

等周問題（周囲の長さが一定の図形のうち面積が最大のもの、あるいはその逆を考える問題）に関する典型的な証明問題です。（i）におけるヘロンの公式と相加相乗平均の組み合わせや、楕円の性質を用いた図形的考察は、最大・最小問題における強力なアプローチです。（ii）では、四辺形全体を一度に扱うのが難しい場合、対角線で2つの三角形に分割し、（i）の結論を用いて「部分的に面積を最大化する条件」を重ね合わせて全体像（ひし形）を導く論法が非常にスマートで、論理的思考力を測る良い解法となります。解法2で紹介した公式は高校数学の範囲外として扱われることもありますが、背景知識として持っておくと見通しが良くなります。