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京都大学 1979年理系第3問解説

方針・初手

（i）式の形から、$u = \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}$ と置換することで関数を簡略化できることに着目する。このとき、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて $u$ の取り得る値の範囲（定義域）を正しく求めることが重要である。また、$g(t)$ の最大値については、$f(t)$ と $g(t)$ の積を計算してみると見通しが良くなる。

(ii)

$3$ 辺の長さが $a, b, c$ である三角形が存在するための必要十分条件 $|a - c| < b < a + c$ に代入する。式が $x, y$ についての同次式になっているため、辺々を $\sqrt{xy}$ で割ることで $t = \frac{x}{y}$ の $1$ 変数関数に帰着でき、（i）の結果をそのまま利用できる。

解法1

(i)

$u = \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}$ とおく。 $t > 0$ であるから $\sqrt{t} > 0, \frac{1}{\sqrt{t}} > 0$ であり、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ u = \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} \ge 2\sqrt{\sqrt{t} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}} = 2 $$

等号は $\sqrt{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}$ すなわち $t = 1$ のとき成り立つ。したがって $u \ge 2$ である。また、$u$ の式を両辺 $2$ 乗すると

$$ u^2 = t + \frac{1}{t} + 2 $$

$$ t + \frac{1}{t} + 1 = u^2 - 1 $$

これらを用いて $f(t)$ を $u$ の関数として表すと、

$$ f(t) = u + \sqrt{u^2 - 1} \quad (u \ge 2) $$

$u \ge 2$ の範囲において、$u$ は単調増加であり、$\sqrt{u^2 - 1}$ も単調増加である。したがって、$f(t)$ は $u = 2$ （すなわち $t = 1$）のとき最小値をとる。その最小値は、

$$ 2 + \sqrt{2^2 - 1} = 2 + \sqrt{3} $$

となり、$f(t)$ の最小値が $2+\sqrt{3}$ であることが示された。

次に、$f(t)$ と $g(t)$ の積を計算する。

$$ f(t)g(t) = \left( \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} \right)^2 - \left( \sqrt{t + \frac{1}{t} + 1} \right)^2 $$

$$ f(t)g(t) = \left( t + \frac{1}{t} + 2 \right) - \left( t + \frac{1}{t} + 1 \right) = 1 $$

$f(t) > 0$ であるから、$g(t) = \frac{1}{f(t)}$ と表せる。 $f(t)$ は正の値をとって最小値 $2+\sqrt{3}$ をとる関数であるため、$g(t)$ は $f(t)$ が最小となるときに最大値をとる。したがって、$g(t)$ の最大値は、

$$ \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 2-\sqrt{3} $$

となり、$g(t)$ の最大値が $2-\sqrt{3}$ であることが示された。

(ii)

正数 $a, b, c$ を $3$ 辺の長さとする三角形が存在するための必要十分条件は、

$$ |a - c| < b < a + c $$

が成り立つことである。 $x > 0, y > 0$ であるから $a = \sqrt{x^2+xy+y^2} > 0, c = x+y > 0$ である。また、$a, c$ の大小関係を調べると、

$$ c^2 - a^2 = (x+y)^2 - (x^2+xy+y^2) = x^2+2xy+y^2 - x^2-xy-y^2 = xy $$

$x > 0, y > 0$ より $xy > 0$ であるから $c^2 > a^2$ すなわち $a < c$ である。したがって、$|a - c| = c - a$ となり、三角形の成立条件は

$$ c - a < b < c + a $$

となる。各辺に与えられた式を代入すると、

$$ (x+y) - \sqrt{x^2+xy+y^2} < p\sqrt{xy} < (x+y) + \sqrt{x^2+xy+y^2} $$

任意の $x, y > 0$ に対して $\sqrt{xy} > 0$ であるから、各辺を $\sqrt{xy}$ で割ると、

$$ \frac{x+y}{\sqrt{xy}} - \sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{xy}} < p < \frac{x+y}{\sqrt{xy}} + \sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{xy}} $$

ここで、各式を変形すると、

$$ \frac{x+y}{\sqrt{xy}} = \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} $$

$$ \frac{x^2+xy+y^2}{xy} = \frac{x}{y} + 1 + \frac{y}{x} $$

となるので、$t = \frac{x}{y}$ とおくと、$x > 0, y > 0$ より $t > 0$ であり、上の不等式は次のように表される。

$$ \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} - \sqrt{t + \frac{1}{t} + 1} < p < \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} + \sqrt{t + \frac{1}{t} + 1} $$

これはすなわち、（i）で定義した関数を用いて

$$ g(t) < p < f(t) $$

と書ける。問題の条件は、任意の正数 $x, y$ に対して三角形が存在すること、つまり任意の $t > 0$ に対してこの不等式が成り立つことである。これが成り立つためには、$p$ が $g(t)$ の最大値より真に大きく、かつ $f(t)$ の最小値より真に小さければよい。（等号を含めると、$t=1$ のときに不等式を満たさなくなってしまうため、等号は外れる）

（i）の結果より、$g(t)$ の最大値は $2-\sqrt{3}$、$f(t)$ の最小値は $2+\sqrt{3}$ であるから、求める $p$ の値の範囲は

$$ 2-\sqrt{3} < p < 2+\sqrt{3} $$

となる。

解説

変数変換を用いた関数の最大・最小問題と、図形の成立条件を融合した標準的な問題である。（i）において、和や差の形で与えられた関数を平方して積の形を調べる（共役な無理式の積を考える）という手法は、計算量を劇的に減らすことができる強力なテクニックであるため習得しておきたい。（ii）では、同次式（すべての項の次数が同じ式）は適切な文字で割ることで比の変数（ここでは $t = \frac{x}{y}$）にまとめることができるという性質を利用している。また、「任意の $t$ について $A(t) < p < B(t)$ が成り立つ」という条件から、「$A(t)$ の最大値 $< p < B(t)$ の最小値」と翻訳する際の等号の有無の吟味が重要である。