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東京工業大学 2001年理系第4問解説

方針・初手

二重になる部分 $P$ の形状を、元の正方形と折り返された正方形の共通部分から考察する。

元の正方形を $S$、折り目を直線 $L$ とし、$L$ に関して $S$ を対称移動した図形を $S'$ とする。紙を $L$ で折ったとき、二重になる部分は $S \cap S'$ を直線 $L$ で二等分した片側の領域に等しい。対称性から、$P$ が線対称な五角形になるのは、折り目 $L$ が正方形 $S$ の中心を通り、かつ辺や対角線と平行でない場合であることを利用して面積を立式する。

解法1

正方形 $S$ の中心を原点 $O$ とし、各辺が座標軸に平行になるように座標平面を設定する。正方形の一辺の長さは $1$ である。折り目となる直線 $L$ が原点 $O$ を通り、$x$ 軸の正の向きとなす角を $\alpha$ とする。対称性から $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ として一般性を失わない。（$\alpha = 0, \frac{\pi}{4}$ のとき、二重部分はそれぞれ長方形、直角二等辺三角形となり五角形にならない）

正方形 $S$ を $L$ に関して折り返した図形 $S'$ は、原点 $O$ の位置が変わらないため、元の正方形 $S$ を原点中心に $2\alpha$ だけ回転させた正方形となる。このとき、2つの正方形の共通部分 $S \cap S'$ は原点に関して点対称な8角形となる。

$S \cap S'$ は直線 $L$ に関して線対称であり、点対称でもあるため、$L$ に垂直で原点を通る直線 $M$ に関しても線対称となる。二重になる多角形 $P$ は、$S \cap S'$ を直線 $L$ で切断した片側の領域である。切断線 $L$ と対称軸 $M$ が直交しているため、領域 $P$ もまた $M$ を対称軸とする線対称な図形となる。 $S \cap S'$ は8角形であり、その頂点のうち2つは $L$ 上に存在するため、これを二等分した $P$ の辺の数は $\frac{8-2}{2} + 1 = 5$ となり、$P$ は線対称な五角形になる。

$P$ の面積は $S \cap S'$ の面積の半分である。 $S \cap S'$ は、正方形 $S$ の4隅から4つの合同な直角三角形を切り落とした形をしている。 $S$ の辺と $S'$ の辺のなす角は回転角である $2\alpha$ に等しいため、切り落とされる直角三角形の鋭角は $2\alpha$ および $\frac{\pi}{2} - 2\alpha$ である。

この直角三角形の直角を挟む2辺の長さを $x, y$ とすると、$y = x \tan 2\alpha$ と表せる。また斜辺の長さを $z$ とすると、$z = \frac{x}{\cos 2\alpha}$ である。 $S \cap S'$ の境界は $S$ の辺の一部と $S'$ の辺の一部が交互に並んだ8角形であり、$S$ と $S'$ が合同である対称性から、これら交互に並ぶ辺の長さは等しい。切り落とされた後の $S$ の辺の長さは $1 - x - y$ であり、これが斜辺 $z$ の長さに等しいため、以下の式が成り立つ。

$$ 1 - x - x \tan 2\alpha = \frac{x}{\cos 2\alpha} $$

これを $x$ について解く。

$$ x \left( 1 + \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{1}{\cos 2\alpha} \right) = 1 $$

$$ x = \frac{\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha + \sin 2\alpha + 1} $$

切り落とされる4つの直角三角形の面積の和を $T$ とすると、

$$ T = 4 \times \frac{1}{2} x y = 2 x^2 \tan 2\alpha = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{(\cos 2\alpha + \sin 2\alpha + 1)^2} $$

ここで分母を展開すると、

$$ \begin{aligned} (\cos 2\alpha + \sin 2\alpha + 1)^2 &= \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha + 1 + 2\cos 2\alpha + 2\sin 2\alpha + 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \\ &= 2 + 2\cos 2\alpha + 2\sin 2\alpha + 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \\ &= 2(1 + \sin 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) \end{aligned} $$

となるため、$T$ は次のように簡略化できる。

$$ T = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2(1 + \sin 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha)} = \frac{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{(1 + \sin 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha)} $$

したがって、$S \cap S'$ の面積 $U$ は、元の正方形の面積 $1$ から $T$ を引いたものである。

$$ U = 1 - T = \frac{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha}{(1 + \sin 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha)} $$

半角の公式および2倍角の公式より、$1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$ および $1 + \sin 2\alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2$ である。また分子は $1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha = 2\cos^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha (\cos\alpha + \sin\alpha)$ となる。これらを代入して整理する。

$$ U = \frac{2\cos\alpha (\cos\alpha + \sin\alpha)}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 \cdot 2\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha (\cos\alpha + \sin\alpha)} $$

求める多角形 $P$ の面積は $\frac{1}{2} U$ であるから、

$$ \text{面積} = \frac{1}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} $$

三角関数の合成を用いると、面積の式は次のように変形できる。

$$ \text{面積} = \frac{1}{1 + \sqrt{2} \sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{4}\right)} $$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ より $\frac{\pi}{4} < 2\alpha + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$ である。したがって、分母の $\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$ は $2\alpha + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $\alpha = \frac{\pi}{8}$ のときに最大値 $1$ をとる。このとき、$P$ の面積は最小となり、その最小値は以下の通りである。

$$ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1 $$

解説

折り紙に関する幾何問題の典型的なテーマである。折られた図形の重なり部分は、「元の図形」と「折り目を軸に反転させた図形」の共通部分として捉え直すことで、見通しよく解析できる。本問では、正方形を折り目 $L$ で反転させた図形を考える代わりに、「原点を通る $L$ での反転は、結果として原点中心の回転移動になる」という幾何学的性質に気づけるかが最大の鍵となる。これにより、共通部分が8角形になることや、その切片が線対称な五角形になることの証明が容易になり、直角三角形の面積計算へと帰着させることができる。