京都大学 1985年 理系 第4問 解説

方針・初手

（i） 球面と平面の交わりは空間上の円になることを利用し、その円の半径を幾何学的に求めて線分長の最大値を考える。 （ii） 与えられた2つの式から $r$ を消去し、$x, y, z$ のみの関係式を導く。平方の和の形を作り出すことで、整数という条件を絞り込む。

解法1

(i)

方程式①は原点 $\text{O}(0, 0, 0)$ を中心とする半径 $R = \sqrt{\frac{r^2+2}{3}}$ の球面を表す。 方程式②は法線ベクトルが $\vec{n} = (1, 1, 1)$ の平面を表す。 球面①と平面②の共通部分 $D$ は、空間内の円である。 原点 $\text{O}$ から平面② $x+y+z-r=0$ までの距離 $d$ は、点と平面の距離の公式より、

$$ d = \frac{|0+0+0-r|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{r}{\sqrt{3}} $$

円 $D$ の半径を $a$ とすると、三平方の定理 $a^2 + d^2 = R^2$ が成り立つので、

$$ a^2 = R^2 - d^2 = \frac{r^2+2}{3} - \frac{r^2}{3} = \frac{2}{3} $$

$a > 0$ より $a = \sqrt{\frac{2}{3}}$ である。 点 $P, Q$ がともに $D$ （半径 $a$ の円）上の点であるとき、線分 $PQ$ の長さの最大値は円の直径 $2a$ である。 したがって、以下の不等式が成立する。

$$ |\overrightarrow{PQ}| \leqq 2\sqrt{\frac{2}{3}} $$

(ii)

方程式①の両辺を $3$ 倍して、

$$ 3(x^2 + y^2 + z^2) = r^2 + 2 $$

方程式②より $r = x+y+z$ であるから、これを上の式に代入する。

$$ 3(x^2 + y^2 + z^2) = (x+y+z)^2 + 2 $$

右辺を展開して整理する。

$$ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx + 2 $$

$$ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 2 $$

両辺をうまく組み合わせると、以下のように変形できる。

$$ (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 2 $$

$$ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 2 $$

$x, y, z$ は整数であるから、$(x - y)^2, (y - z)^2, (z - x)^2$ はすべて $0$ 以上の整数である。 3つの非負整数の和が $2$ になる組み合わせは、$2, 0, 0$ または $1, 1, 0$ のいずれかである。 しかし、$1$ つが $0$ で残り $2$ つがそれぞれ $2, 0$ となることはあり得ない。例えば $x-y=0$ （すなわち $x=y$）のとき、$(y-z)^2$ と $(z-x)^2$ の値は等しくなるため、それらの和が $2$ となるにはそれぞれが $1$ でなければならない。 よって、平方数の値の組み合わせは $\{1, 1, 0\}$ のみである。 これは、3つの整数 $x, y, z$ のうち2つが等しく、残りの1つがそれらと $\pm 1$ だけ異なることを意味する。

等しい2つの整数を $k$ とおくと、$x, y, z$ の組の要素は $\{k, k, k+1\}$ または $\{k, k, k-1\}$ と表せる。

(ア)

$\{x, y, z\} = \{k, k, k+1\}$ のとき

方程式②より、$x+y+z = k+k+(k+1) = 3k+1$ であるから、

$$ r = 3k+1 $$

このとき、$r$ を $3$ で割った余りは $1$ であり、$k = \frac{r-1}{3}$ となる。 これを各要素に代入すると、$\{ \frac{r-1}{3}, \frac{r-1}{3}, \frac{r+2}{3} \}$ となる。

(イ)

$\{x, y, z\} = \{k, k, k-1\}$ のとき

方程式②より、$x+y+z = k+k+(k-1) = 3k-1$ であるから、

$$ r = 3k-1 $$

このとき、$r$ を $3$ で割った余りは $2$ であり、$k = \frac{r+1}{3}$ となる。 これを各要素に代入すると、$\{ \frac{r+1}{3}, \frac{r+1}{3}, \frac{r-2}{3} \}$ となる。

(ウ)

$r$ が $3$ の倍数のとき

（ア）、（イ） のいずれの形でも和 $r$ を表せないため、条件を満たす整数解は存在しない。

解説

(i) は空間図形の基本的な問題であり、球面と平面の交わりが円になることを利用して幾何学的に処理するのが最も簡明である。 (ii) は代数的な整数問題である。2式から $r$ を消去して $3(x^2+y^2+z^2) - (x+y+z)^2 = 2$ を作り出し、これを $(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 2$ と変形する手法は、対称式や実数条件を扱う際によく用いられる極めて有効な式変形である。この変形さえできれば、あとは自然に場合分けへと導かれる。

答え

(i)

解法1の通り。

(ii)

$r$ を $3$ で割った余りによって以下のようになる。

・ $r$ を $3$ で割った余りが $1$ のとき

$$ (x, y, z) = \left(\frac{r+2}{3}, \frac{r-1}{3}, \frac{r-1}{3}\right), \left(\frac{r-1}{3}, \frac{r+2}{3}, \frac{r-1}{3}\right), \left(\frac{r-1}{3}, \frac{r-1}{3}, \frac{r+2}{3}\right) $$

・ $r$ を $3$ で割った余りが $2$ のとき

$$ (x, y, z) = \left(\frac{r-2}{3}, \frac{r+1}{3}, \frac{r+1}{3}\right), \left(\frac{r+1}{3}, \frac{r-2}{3}, \frac{r+1}{3}\right), \left(\frac{r+1}{3}, \frac{r+1}{3}, \frac{r-2}{3}\right) $$

・ $r$ が $3$ の倍数のとき

解なし