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京都大学 1991年理系第1問解説

方針・初手

(1) 与えられた直径の両端の座標から円 $C$ の方程式を求め、直線 $y=1$ との交点を計算する。点 $Q$ の $x$ 座標が非負 ($s \geqq 0$) であるという条件から、交点を1つに特定し、中点の座標の公式から $s, t$ を求める。 (2) (1) で得られた $s, t$ の式から媒介変数 $p$ を消去し、軌跡の方程式を求める。$p>0$ という条件が $s, t$ の変域に制限を与えることに注意する。後半の証明は、軌跡の導関数から求めた点 $Q$ における接線の傾きと、直線 $PQ$ の傾きが一致することを示すのが簡明である。

解法1

(1) 点 $A(0, 2)$ と点 $P(0, -p)$ を直径の両端とする円 $C$ の方程式は、

$$ (x - 0)(x - 0) + (y - 2)(y - (-p)) = 0 $$

すなわち、

$$ x^2 + (y-2)(y+p) = 0 $$

と表せる。この円と直線 $y=1$ の交点を求めるため、$y=1$ を代入する。

$$ x^2 + (1-2)(1+p) = 0 $$

$$ x^2 - (1+p) = 0 \implies x^2 = p+1 $$

$p>0$ より $p+1 > 0$ であるから、$x = \pm\sqrt{p+1}$ となる。したがって、交点は $(\sqrt{p+1}, 1)$ と $(-\sqrt{p+1}, 1)$ の2点である。

ここで、$PQ$ の中点を $M$ とすると、$M$ がこのいずれかの交点となる。 $P(0, -p)$、$Q(s, t)$ より、中点 $M$ の座標は $\left(\frac{s}{2}, \frac{t-p}{2}\right)$ である。条件より $s \geqq 0$ であるから、中点の $x$ 座標は $\frac{s}{2} \geqq 0$ となる。よって、2つの交点のうち $x$ 座標が正である $(\sqrt{p+1}, 1)$ が中点 $M$ であると定まる。各座標を比較して、以下の式を得る。

$$ \begin{cases} \frac{s}{2} = \sqrt{p+1} \\ \frac{t-p}{2} = 1 \end{cases} $$

これを解いて、

$$ s = 2\sqrt{p+1}, \quad t = p+2 $$

(2) $Q$ の座標 $(s, t)$ を $(x, y)$ とおくと、$Q$ の軌跡はパラメータ $p \ (p>0)$ を用いて次のように表される。

$$ \begin{cases} x = 2\sqrt{p+1} \\ y = p+2 \end{cases} $$

$y = p+2$ より $p = y-2$ である。これを $x$ の式に代入する。

$$ x = 2\sqrt{(y-2)+1} = 2\sqrt{y-1} $$

両辺を2乗して整理する。

$$ x^2 = 4(y-1) \implies y = \frac{x^2}{4} + 1 $$

また、$p > 0$ であるから $y = p+2 > 2$ であり、これに対応して $x = 2\sqrt{p+1} > 2\sqrt{1} = 2$ となる。したがって、対応する $Q$ 全体が描く曲線は、以下のようになる。

放物線 $y = \frac{x^2}{4} + 1$ の $x > 2$ の部分

次に、直線 $PQ$ がこの曲線の点 $Q$ における接線であることを示す。曲線を関数 $f(x) = \frac{x^2}{4} + 1$ とみる。導関数は $f'(x) = \frac{x}{2}$ である。点 $Q(2\sqrt{p+1}, p+2)$ におけるこの曲線の接線の傾き $m_1$ は、

$$ m_1 = f'(2\sqrt{p+1}) = \frac{2\sqrt{p+1}}{2} = \sqrt{p+1} $$

一方、直線 $PQ$ は2点 $P(0, -p), \ Q(2\sqrt{p+1}, p+2)$ を通る直線であるから、その傾き $m_2$ は、

$$ \begin{aligned} m_2 &= \frac{(p+2) - (-p)}{2\sqrt{p+1} - 0} \\ &= \frac{2p+2}{2\sqrt{p+1}} \\ &= \frac{2(p+1)}{2\sqrt{p+1}} \\ &= \sqrt{p+1} \end{aligned} $$

よって、$m_1 = m_2$ が成り立つ。点 $Q$ における曲線の接線と直線 $PQ$ は、傾きが等しく、ともに点 $Q$ を通るため一致する。したがって、直線 $PQ$ はこの曲線の点 $Q$ での接線となっている。（証明終）

解説

パラメータで表された曲線の軌跡を求める標準的な問題である。パラメータを消去する際は、消去される変数の定義域（本問では $p>0$）が残る変数の定義域（$x>2, y>2$）にどう反映されるかを必ず確認する必要がある。後半は、図形的な性質から接線であることを示すよりも、微分の知識を用いて「接線の傾き＝直線 $PQ$ の傾き」を示す代数的なアプローチをとるのが最も確実でミスが少ない。