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京都大学 1991年理系第2問解説

方針・初手

(1) 任意の点 $(x, y)$ を行列で変換した先の座標 $(X, Y)$ の関係式を導き、$Y$ を $X$ で表すことで像が直線になることを示す。また、その直線上の任意の点が像として現れること（全射性）にも言及する。 (2) 問題文の指示通りに段階を踏んで計算する。「$P$ との距離が最小となる点 $Q$」は $P$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足である。「原点との距離が最小となる点」は、条件を満たす点 $(u, v)$ の集合が表す図形（直線）と原点との距離を考え、平方完成などで最小値を求める。 (3) (2) で得られた写像 $g$ を行列で表し、行列の積として合成写像を計算する。

解法1

(1) 平面上の任意の点 $(x, y)$ の $f$ による像を $(X, Y)$ とすると、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - y \\ -2(x - y) \end{pmatrix} $$

これより $Y = -2X$、すなわち $2X + Y = 0$ が成り立つので、$f$ による像は直線 $l : 2x + y = 0$ 上にある。逆に、直線 $l$ 上の任意の点 $(X, -2X)$ に対して、$(X, 0)$ を $f$ で変換すると $(X, -2X)$ となるため、直線 $l$ 上のすべての点は $f$ による像として現れる。したがって、$f$ による全平面の像は直線 $l : 2x + y = 0$ である。

(2) 点 $P(x, y)$ から直線 $l : 2X + Y = 0$ に下ろした垂線の足を $Q(X, Y)$ とする。直線 $l$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (2, 1)$ であるから、$\vec{PQ}$ は $\vec{n}$ に平行である。また、$Q$ は直線 $l$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\vec{OQ} = \vec{OP} + k\vec{n}$ と表せる。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2k \\ y + k \end{pmatrix} $$

$Q$ は $l$ 上の点であるから、$2X + Y = 0$ に代入して $k$ を求める。

$$ 2(x + 2k) + (y + k) = 0 \iff 5k = -2x - y \iff k = \frac{-2x - y}{5} $$

よって、$Q$ の $X$ 座標は

$$ X = x + 2\left(\frac{-2x - y}{5}\right) = \frac{x - 2y}{5} $$

$Y = -2X$ より、点 $Q$ の座標は $\left( \frac{x - 2y}{5}, \frac{-2x + 4y}{5} \right)$ である。

次に、$f$ による像が $Q$ となる点を $R(u, v)$ とすると、

$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ -2X \end{pmatrix} $$

より、$u - v = X$、すなわち $v = u - X$ を満たす。このような点 $R(u, u - X)$ のうち、原点との距離が最小となる点 $P'$ を求める。原点と $R$ の距離の2乗は、

$$ u^2 + v^2 = u^2 + (u - X)^2 = 2u^2 - 2Xu + X^2 = 2\left(u - \frac{X}{2}\right)^2 + \frac{X^2}{2} $$

これは $u = \frac{X}{2}$ のとき最小となる。このとき $v = -\frac{X}{2}$ である。したがって、$P'(x', y')$ の座標は $\left( \frac{X}{2}, -\frac{X}{2} \right)$ となる。先ほど求めた $X = \frac{x - 2y}{5}$ を代入して整理する。

$$ x' = \frac{1}{2} \left( \frac{x - 2y}{5} \right) = \frac{x - 2y}{10} $$

$$ y' = -\frac{1}{2} \left( \frac{x - 2y}{5} \right) = \frac{-x + 2y}{10} $$

(3) (2) の結果から、写像 $g$ は次のように行列で表される。

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$f, g$ の表現行列をそれぞれ $F, G$ とする。

$$ F = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}, \quad G = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$

合成写像 $f \circ g \circ f$ の表現行列は $FGF$ である。

$$ FG = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $$

$$ FGF = (FG)F = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ -10 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = F $$

したがって、$f \circ g \circ f = f$ である。

次に、合成写像 $g \circ f \circ g$ の表現行列は $GFG$ である。

$$ GF = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ GFG = (GF)G = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{20} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = G $$

したがって、$g \circ f \circ g = g$ である。

解説

行列式が $0$ である行列の変換は逆変換を持たないが、本問の操作によって構成された写像 $g$ は、元の写像 $f$ に対して「可能な限り逆変換に近い性質」を持つ。これを大学数学では「ムーア・ペンローズ疑似逆行列」と呼ぶ。 (3) で示した $f \circ g \circ f = f$ および $g \circ f \circ g = g$ という美しい対称関係は、まさに疑似逆行列が満たすべき定義条件そのものである。線形代数の高度な概念を、平面図形の最短距離という高校数学の枠組みで見事に体感させる良問である。