京都大学 1994年 理系 第1問 解説

方針・初手

行列の可換性（積の順序を交換しても結果が同じになる性質）に関する典型的な問題である。

（1） は、行列 $B$ の成分を文字でおいて $AB = BA$ の成分比較を行うのが最も確実な初手である。 （2） は、（1） の結果を利用する。$B, C$ がそれぞれ $A$ と $E$ の1次結合で表せることを用いて計算する。 （3） も （1） の結果を利用し、$B = pA + qE$ とおいて $B^2 = E$ を計算する。その際、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて $A^2$ の次数を下げることと、$A, E$ が1次独立であることを利用して係数比較を行う。

解法1

(1)

行列 $B$ を以下のように成分表示する。

$$ B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \quad (x, y, z, w \text{ は実数}) $$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ であるから、$AB$ と $BA$ はそれぞれ次のように計算できる。

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+z & y+w \\ 2x & 2y \end{pmatrix} $$

$$ BA = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y & x \\ z+2w & z \end{pmatrix} $$

$AB = BA$ が成り立つとき、対応する成分が等しいので以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} x+z = x+2y \\ y+w = x \\ 2x = z+2w \\ 2y = z \end{cases} $$

第1式と第4式より、$z = 2y$ が得られる。 第2式より、$w = x-y$ が得られる。 このとき、第3式は $2x = 2y + 2(x-y) = 2x$ となり常に成り立つ。

よって、行列 $B$ は次のように表せる。

$$ B = \begin{pmatrix} x & y \\ 2y & x-y \end{pmatrix} $$

これを $A$ と $E$ を用いて変形すると、

$$ B = \begin{pmatrix} y + (x-y) & y \\ 2y & 0 + (x-y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & y \\ 2y & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x-y & 0 \\ 0 & x-y \end{pmatrix} $$

$$ B = y \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + (x-y) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ B = yA + (x-y)E $$

実数 $x, y$ に対して $p = y, q = x-y$ とおけば、$p, q$ は実数であり、$B = pA + qE$ と表すことができる。 したがって、題意は示された。

(2)

条件 $AB = BA$ より、（1） の結果から実数 $p_1, q_1$ を用いて次のように表せる。

$$ B = p_1 A + q_1 E $$

同様に、条件 $AC = CA$ より、実数 $p_2, q_2$ を用いて次のように表せる。

$$ C = p_2 A + q_2 E $$

これらを用いて $BC$ と $CB$ を計算する。

$$ BC = (p_1 A + q_1 E)(p_2 A + q_2 E) = p_1 p_2 A^2 + p_1 q_2 A + q_1 p_2 A + q_1 q_2 E = p_1 p_2 A^2 + (p_1 q_2 + q_1 p_2) A + q_1 q_2 E $$

$$ CB = (p_2 A + q_2 E)(p_1 A + q_1 E) = p_2 p_1 A^2 + p_2 q_1 A + q_2 p_1 A + q_2 q_1 E = p_1 p_2 A^2 + (p_1 q_2 + q_1 p_2) A + q_1 q_2 E $$

計算結果が一致するため、$BC = CB$ が成り立つことが示された。

(3)

$AB = BA$ より、（1） から $B = pA + qE$ （$p, q$ は実数）とおける。 このとき、$B^2$ は次のように計算できる。

$$ B^2 = (pA + qE)^2 = p^2 A^2 + 2pq A + q^2 E $$

ここで、行列 $A$ に対してケーリー・ハミルトンの定理を適用すると、

$$ A^2 - (1+0)A + (1\cdot0 - 1\cdot2)E = O $$

$$ A^2 - A - 2E = O \iff A^2 = A + 2E $$

これが成り立つ。これを $B^2$ の式に代入して整理する。

$$ B^2 = p^2 (A + 2E) + 2pq A + q^2 E = (p^2 + 2pq)A + (2p^2 + q^2)E $$

条件 $B^2 = E$ より、

$$ (p^2 + 2pq)A + (2p^2 + q^2)E = E $$

$$ (p^2 + 2pq)A + (2p^2 + q^2 - 1)E = O $$

ここで、行列 $A$ と $E$ は1次独立である。 （∵ $sA + tE = O$ とすると $\begin{pmatrix} s+t & s \\ 2s & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となり、$s=0, t=0$ が導かれるため。） したがって、各係数は $0$ となる。

$$ \begin{cases} p^2 + 2pq = 0 \quad \cdots ① \\ 2p^2 + q^2 - 1 = 0 \quad \cdots ② \end{cases} $$

①より、$p(p + 2q) = 0$ であるから、$p = 0$ または $p = -2q$ である。

(i)

$p = 0$ のとき

②より、$q^2 - 1 = 0$ すなわち $q = \pm 1$ となる。 このとき、$B = \pm E$ であるから、

$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

(ii)

$p = -2q$ のとき

②に代入して、

$$ 2(-2q)^2 + q^2 - 1 = 0 $$

$$ 8q^2 + q^2 = 1 \iff 9q^2 = 1 \iff q = \pm \frac{1}{3} $$

$q = \frac{1}{3}$ のとき、$p = -\frac{2}{3}$ となる。

$$ B = -\frac{2}{3} A + \frac{1}{3} E = -\frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & -2/3 \\ -4/3 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} $$

$q = -\frac{1}{3}$ のとき、$p = \frac{2}{3}$ となる。

$$ B = \frac{2}{3} A - \frac{1}{3} E = \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 4/3 & -1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} $$

以上 （i）, （ii） より、条件を満たす行列 $B$ はすべて求められた。

解説

2行2列の行列について、「ある行列 $A$ と交換可能（$AB=BA$）な行列 $B$ は、$pA+qE$ の形で表せる」という有名な性質を誘導に乗って証明し、利用する問題である。 （1） では成分計算を丁寧に行うことが求められる。 （2） は「$A$ の多項式で表される行列同士は必ず交換可能である」という事実の簡単な証明に相当する。 （3） において、$A$ と $E$ が1次独立であることを明記した上で係数比較を行うのが、論理的に隙のない解答を作るためのポイントとなる。1次独立性の言及を忘れないようにしたい。

答え

(1)

（解答の「解法1」に記載の通り、成分計算から $z=2y, w=x-y$ を導き、$p=y, q=x-y$ と置くことで示される。）

(2)

（解答の「解法1」に記載の通り、$B = p_1 A + q_1 E$, $C = p_2 A + q_2 E$ とおき、積の計算結果が一致することから示される。）

(3)

$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} $$