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京都大学 1984年理系第1問解説

方針・初手

$f$ によって $C$ が $C$ 自身の上に写されるということは、$f(C) = C$ が成り立つということである。

まずは必要条件として、$f(C) \subset C$ となる条件を求める。$C$ 上の任意の点 $(x, y)$ （すなわち $xy=1$ を満たす点）が $f$ によって $C$ 上の点に写る（すなわち $x'y'=1$ を満たす）条件を式変形から導く。

その後、得られた条件が十分条件でもある（全射性 $C \subset f(C)$ も満たす）ことを確認する。

解法1

$C$ は方程式 $xy=1$ で表される図形である。

点 $(x, y)$ が1次変換 $f$ によって点 $(x', y')$ に写されるとき、

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

より、$x' = ax + by$、$y' = cx + dy$ である。

$f$ が $C$ を $C$ 自身の上に写すための必要条件として、$f(C) \subset C$ が成り立つ。

すなわち、$xy = 1$ を満たす任意の $(x, y)$ について、$x'y' = 1$ が成り立つ。

$x'y'$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} x'y' &= (ax + by)(cx + dy) \\ &= acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2 \end{aligned} $$

となる。

点 $(x, y)$ が $C$ 上にあるとき、$xy = 1$ であり $x \neq 0$ なので $y = \frac{1}{x}$ と書ける。これを代入すると、

$$ x'y' = acx^2 + (ad + bc) + \frac{bd}{x^2} $$

となる。これが任意の $x \neq 0$ に対して $1$ となるため、

$$ acx^2 + (ad + bc - 1) + \frac{bd}{x^2} = 0 $$

が任意の $x \neq 0$ について恒等的に成り立つ必要がある。

両辺に $x^2$ をかけると、

$$ acx^4 + (ad + bc - 1)x^2 + bd = 0 $$

これが任意の $x \neq 0$ について成り立つので、$x$ についての多項式として恒等的に $0$ である。

したがって、係数比較により

$$ ac = 0 $$

$$ ad + bc = 1 $$

$$ bd = 0 $$

が成り立つことが必要である。

上の第1式より、$a = 0$ または $c = 0$ である。

(i)

$a = 0$ のとき

第2式より $bc = 1$。よって $b \neq 0$ かつ $c \neq 0$ である。

第3式において $b \neq 0$ であるから、$d = 0$ となる。

このとき、条件は「$a=d=0$ かつ $bc=1$」である。

(ii)

$c = 0$ のとき

第2式より $ad = 1$。よって $a \neq 0$ かつ $d \neq 0$ である。

第3式において $d \neq 0$ であるから、$b = 0$ となる。

このとき、条件は「$b=c=0$ かつ $ad=1$」である。

逆に、これらの条件を満たすとき、$f$ が $C$ を $C$ 自身の上に写す（十分条件である）ことを確認する。

（i）の条件「$a=d=0$ かつ $bc=1$」を満たすとき

行列は $A = \begin{pmatrix} 0 & b \\ \frac{1}{b} & 0 \end{pmatrix}$ （$b \neq 0$）となる。

このとき行列式は $\det A = -1 \neq 0$ であり、$A$ は逆行列を持つ。

任意の $(x, y) \in C$ に対し、$(x', y') = f(x,y)$ とすると、$x'y' = (by)\left(\frac{1}{b}x\right) = xy = 1$ より $(x', y') \in C$ となる。ゆえに $f(C) \subset C$ である。

また、任意の $(X, Y) \in C$（すなわち $XY=1$）に対し、

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & b \\ \frac{1}{b} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} bY \\ \frac{1}{b}X \end{pmatrix} $$

とすれば、$xy = (bY)\left(\frac{1}{b}X\right) = XY = 1$ となり $(x, y) \in C$ である。

かつ $f(x, y) = (X, Y)$ となるため、$C \subset f(C)$ も成り立つ。

よって $f(C) = C$ を満たす。

（ii）の条件「$b=c=0$ かつ $ad=1$」を満たすとき

行列は $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}$ （$a \neq 0$）となる。

このとき行列式は $\det A = 1 \neq 0$ であり、$A$ は逆行列を持つ。

任意の $(x, y) \in C$ に対し、$(x', y') = f(x,y)$ とすると、$x'y' = (ax)\left(\frac{1}{a}y\right) = xy = 1$ より $(x', y') \in C$ となる。ゆえに $f(C) \subset C$ である。

また、任意の $(X, Y) \in C$（すなわち $XY=1$）に対し、

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a}X \\ aY \end{pmatrix} $$

とすれば、$xy = \left(\frac{1}{a}X\right)(aY) = XY = 1$ となり $(x, y) \in C$ である。

かつ $f(x, y) = (X, Y)$ となるため、$C \subset f(C)$ も成り立つ。

よって $f(C) = C$ を満たす。

以上から、求める必要十分条件は「$a=d=0$ かつ $bc=1$」または「$b=c=0$ かつ $ad=1$」である。