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京都大学 2001年理系第3問解説

方針・初手

与えられた条件 $a_{n+k} = a_n$ は、$i^{f(n+k)} = i^{f(n)}$ と書き換えられます。両辺を $i^{f(n)}$ で割ることで $i^{f(n+k)-f(n)} = 1$ を得ます。虚数単位 $i$ の累乗が $1$ になる条件は、指数が $4$ の倍数になることです。したがって、「任意の整数 $n$ に対して $f(n+k) - f(n)$ が $4$ の倍数になる」ような正の整数 $k$ の条件を求める問題に帰着されます。任意の $n$ で成り立つという条件から、特定の $n$ （例えば $n=0, 1$）を代入して $k$ の必要条件を絞り込み、その後十分性を確認する方針が有効です。

解法1

$a_{n+k} = a_n$ が成り立つとき、定義より

$$ i^{f(n+k)} = i^{f(n)} $$

両辺に $i^{-f(n)}$ を掛けると、

$$ i^{f(n+k) - f(n)} = 1 $$

これが任意の整数 $n$ に対して成り立つための条件は、$f(n+k) - f(n)$ が常に $4$ の倍数となることである。関数 $f(n) = \dfrac{n(n-1)}{2}$ を用いて差を計算する。

$$ f(n+k) - f(n) = \frac{(n+k)(n+k-1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2nk + k^2 - k}{2} = nk + \frac{k(k-1)}{2} $$

この値がすべての整数 $n$ に対して $4$ の倍数になるような正の整数 $k$ を求める。$g(n) = nk + \dfrac{k(k-1)}{2}$ とおく。

（i）必要条件の絞り込み

$g(n)$ が任意の整数 $n$ で $4$ の倍数となるならば、特に $n=0$ と $n=1$ のときも $4$ の倍数である。

$n=0$ のとき、$g(0) = \dfrac{k(k-1)}{2}$ が $4$ の倍数である。

$n=1$ のとき、$g(1) = k + \dfrac{k(k-1)}{2}$ も $4$ の倍数である。

したがって、これらの差 $g(1) - g(0) = k$ も $4$ の倍数でなければならない。ゆえに、$k$ は $4$ の倍数であることが必要である。

そこで、$k = 4m$ （$m$ は正の整数）とおき、これを $g(0)$ に代入する。

$$ g(0) = \frac{4m(4m-1)}{2} = 2m(4m-1) $$

$g(0)$ は $4$ の倍数であるから、$2m(4m-1)$ は $4$ の倍数である。すなわち、$m(4m-1)$ は偶数である。ここで、$4m-1$ は常に奇数であるため、$m(4m-1)$ が偶数となるためには、$m$ が偶数でなければならない。よって、$m = 2L$ （$L$ は正の整数）とおくことができる。このとき、

$$ k = 4m = 8L $$

となり、$k$ は $8$ の倍数であることが必要だとわかる。

（ii）十分性の確認

$k$ が $8$ の倍数であるとき、$k = 8L$ （$L$ は正の整数）と表せる。このとき、$g(n)$ を計算すると、

$$ g(n) = n(8L) + \frac{8L(8L-1)}{2} = 8nL + 4L(8L-1) = 4(2nL + 8L^2 - L) $$

$n, L$ は整数であるから、$2nL + 8L^2 - L$ は整数である。したがって、$g(n)$ は $n$ の値によらず常に $4$ の倍数となる。よって、$f(n+k) - f(n)$ は常に $4$ の倍数となり、$a_{n+k} = a_n$ が任意の整数 $n$ に対して成り立つ。

以上より、求める条件は $k$ が $8$ の倍数であることである。

解説

「任意の $n$ に対して〜」という命題を処理する際の定石である「必要条件から攻める」アプローチが非常に有効な問題です。式が $n$ の1次式であることを利用し、$n=0, 1$ という扱いやすい数値を代入して $k$ の条件を絞り込みます。絞り込んだ後、最後にそれが十分条件でもある（本当に任意の $n$ で成り立つ）ことを確認する論証のステップを忘れないようにしましょう。別解として、$n=0, 1, 2, \dots$ と具体的に代入して数列 $\{a_n\}$ を書き出し、その周期性が $8$ であることを実験的に見つけてから証明する方法もあります。