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大阪大学 1996年理系第1問解説

方針・初手

2次方程式の2つの解が共に整数であるという条件から、解と係数の関係を用いて係数 $a, b$ を2つの解で表すことが第一歩である。得られた関係式を不等式の条件に代入し、整数問題の定石である「積の形を作り、候補を絞り込む」手法へと持ち込む。

解法1

2次方程式 $X^2 + aX + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。条件(イ)より、$\alpha, \beta$ は共に2以上の整数である。対称性から $\alpha \geqq \beta \geqq 2$ と設定しても一般性を失わない。

解と係数の関係より、以下の等式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = -a \\ \alpha\beta = b \end{cases} $$

これを $a, b$ について解くと、

$$ \begin{cases} a = -(\alpha + \beta) \\ b = \alpha\beta \end{cases} $$

となる。これらを条件(ロ)の不等式 $3a + 2b \leqq 0$ に代入する。

$$ 3(-(\alpha + \beta)) + 2\alpha\beta \leqq 0 $$

$$ 2\alpha\beta - 3\alpha - 3\beta \leqq 0 $$

この不等式を $( \text{文字式} ) \times ( \text{文字式} ) \leqq ( \text{定数} )$ の形に変形する。式の係数を整数にするため、両辺を2倍する。

$$ 4\alpha\beta - 6\alpha - 6\beta \leqq 0 $$

$$ 2\alpha(2\beta - 3) - 3(2\beta - 3) - 9 \leqq 0 $$

$$ (2\alpha - 3)(2\beta - 3) \leqq 9 $$

ここで、$\alpha \geqq \beta \geqq 2$ であることと、$\alpha, \beta$ が整数であることから、$2\alpha - 3$ および $2\beta - 3$ は正の奇数であり、以下の関係を満たす。

$$ 2\alpha - 3 \geqq 2\beta - 3 \geqq 2 \cdot 2 - 3 = 1 $$

したがって、$(2\alpha - 3)(2\beta - 3) \leqq 9$ を満たす正の奇数の組 $(2\alpha - 3, 2\beta - 3)$ を探せばよい。

(i)

$2\beta - 3 = 1$ （すなわち $\beta = 2$）のとき

不等式は $2\alpha - 3 \leqq 9$ となる。これを満たす正の奇数 $2\alpha - 3$ は、$1, 3, 5, 7, 9$ である。それぞれに対応する $\alpha$ の値は $2, 3, 4, 5, 6$ となる。よって、$(\alpha, \beta)$ の組は $(2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)$ である。

(ii)

$2\beta - 3 = 3$ （すなわち $\beta = 3$）のとき

不等式は $3(2\alpha - 3) \leqq 9$ となり、$2\alpha - 3 \leqq 3$ となる。また、$2\alpha - 3 \geqq 2\beta - 3 = 3$ であるから、$2\alpha - 3 = 3$ でなければならない。よって $\alpha = 3$ となり、$(\alpha, \beta)$ の組は $(3, 3)$ である。

(iii)

$2\beta - 3 \geqq 5$ のとき

$(2\alpha - 3)(2\beta - 3) \geqq 5 \cdot 5 = 25 > 9$ となり、不等式を満たさない。

以上より、条件を満たす $(\alpha, \beta)$ の組は以下の6通りである。

$$ (\alpha, \beta) = (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (3, 3) $$

これらを $a = -(\alpha + \beta), b = \alpha\beta$ に代入して $(a, b)$ を求める。

$(\alpha, \beta) = (2, 2)$ のとき、$(a, b) = (-4, 4)$ $(\alpha, \beta) = (3, 2)$ のとき、$(a, b) = (-5, 6)$ $(\alpha, \beta) = (4, 2)$ のとき、$(a, b) = (-6, 8)$ $(\alpha, \beta) = (5, 2)$ のとき、$(a, b) = (-7, 10)$ $(\alpha, \beta) = (6, 2)$ のとき、$(a, b) = (-8, 12)$ $(\alpha, \beta) = (3, 3)$ のとき、$(a, b) = (-6, 9)$

これらが求めるすべての組である。

解説

「方程式の解が整数になる」という条件に対するアプローチとして、「解と係数の関係」を用いて係数を解の文字式で表現する手法は極めて標準的である。

また、得られた関係式 $2\alpha\beta - 3\alpha - 3\beta \leqq 0$ から $(2\alpha - 3)(2\beta - 3)$ の形を作り出す変形も、整数問題における典型的な処理である。分数が出てくるのを避けるため、あらかじめ両辺に $\alpha\beta$ の係数（この場合は2）を掛けておく工夫をしておくと、計算ミスを減らしスムーズに因数分解の形へ持ち込むことができる。文字の大小関係 $\alpha \geqq \beta$ を自分で設定することで、候補の探索範囲を半分に絞る技術も重要である。