京都大学 2005年 理系 第1問 解説

方針・初手

与えられた曲線と線分が共有点をもつ条件を、方程式の実数解の存在条件に帰着させる。

曲線 $y = x^2 + ax + b$ と線分 $L: y = 2x$（$0 \leqq x \leqq 1$）が共有点をもつための条件は、方程式 $x^2 + ax + b = 2x$ が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。

ここからのアプローチとして、文字定数 $b$ を分離して関数の値域の問題と捉える方法（解法1）と、2次方程式の解の配置問題として場合分けを行う方法（解法2）の2つが考えられる。

解法1

曲線と線分が共有点をもつための条件は、方程式 $x^2 + ax + b = 2x$ すなわち

$$ b = -x^2 - (a-2)x $$

を満たす実数 $x$ が $0 \leqq x \leqq 1$ に少なくとも1つ存在することである。

これは、$x$ が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲を動くときの関数 $f(x) = -x^2 - (a-2)x$ のとりうる値の範囲に $b$ が含まれることと同値である。

関数 $f(x)$ を平方完成すると、

$$ f(x) = -\left( x + \frac{a-2}{2} \right)^2 + \frac{(a-2)^2}{4} $$

このグラフは上に凸の放物線であり、軸は $x = \dfrac{2-a}{2}$ である。定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ に対する軸の位置で場合分けする。

(i)

$\dfrac{2-a}{2} > 1$、すなわち $a < 0$ のとき

$f(x)$ は単調増加。最大値 $f(1) = -a+1$、最小値 $f(0) = 0$。

$$ \therefore \quad 0 \leqq b \leqq -a+1 $$

(ii)

$\dfrac{1}{2} \leqq \dfrac{2-a}{2} \leqq 1$、すなわち $0 \leqq a \leqq 1$ のとき

最大値は頂点、最小値は $x=0$。最大値 $\dfrac{(a-2)^2}{4}$、最小値 $f(0) = 0$。

$$ \therefore \quad 0 \leqq b \leqq \frac{(a-2)^2}{4} $$

(iii)

$0 \leqq \dfrac{2-a}{2} \leqq \dfrac{1}{2}$、すなわち $1 \leqq a \leqq 2$ のとき

最大値は頂点、最小値は $x=1$。最大値 $\dfrac{(a-2)^2}{4}$、最小値 $f(1) = -a+1$。

$$ \therefore \quad -a+1 \leqq b \leqq \frac{(a-2)^2}{4} $$

(iv)

$\dfrac{2-a}{2} < 0$、すなわち $a > 2$ のとき

$f(x)$ は単調減少。最大値 $f(0) = 0$、最小値 $f(1) = -a+1$。

$$ \therefore \quad -a+1 \leqq b \leqq 0 $$

解法2

$g(x) = x^2 + (a-2)x + b$ が $0 \leqq x \leqq 1$ に少なくとも1つの実数解をもつ条件を考える。

（I）区間内に2解（重解含む）をもつ場合

$$ b \leqq \frac{(a-2)^2}{4}, \quad 0 \leqq a \leqq 2, \quad b \geqq 0, \quad b \geqq -a+1 $$

（II）区間の端点をまたいで1解をもつ場合

$$ g(0)g(1) \leqq 0 \iff b(a+b-1) \leqq 0 $$

これは「$b \geqq 0$ かつ $b \leqq -a+1$」または「$b \leqq 0$ かつ $b \geqq -a+1$」のいずれかと同値である。

（I）と（II）の和集合が求める領域であり、整理すると解法1と同じ領域が得られる。

解説

「共有点をもつ条件」を実数解の存在範囲に言い換えるところまでは定石です。$a, b$ の一方が完全に分離できる本問のような場合は、定数分離（解法1）を行って関数の値域を調べる方が、場合分けが自然で計算ミスを減らしやすいです。

答え

$ab$ 平面上において、直線 $b = 0$（$a$ 軸）、直線 $b = -a+1$、および放物線 $b = \dfrac{1}{4}(a-2)^2$ によって囲まれる・挟まれる領域（境界を含む）。

• $a < 0$ のとき：$0 \leqq b \leqq -a+1$
• $0 \leqq a \leqq 1$ のとき：$0 \leqq b \leqq \dfrac{(a-2)^2}{4}$
• $1 \leqq a \leqq 2$ のとき：$-a+1 \leqq b \leqq \dfrac{(a-2)^2}{4}$
• $a > 2$ のとき：$-a+1 \leqq b \leqq 0$

（各境界線は $(0,1)$ で接し、$(1,0)$ と $(2,0)$ で交わる・接する）