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京都大学 2017年理系第1問解説

方針・初手

複素数 $w$ を極形式 $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表し、$w + \dfrac{1}{w}$ を計算して実部 $x$ と虚部 $y$ を $r,\ \theta$ を用いて表します。その後、(1) では $r$ を定数、$\theta$ を変数とみて $\theta$ を消去し、(2) では $\theta$ を定数、$r$ を変数とみて $r$ を消去することで、それぞれ $x,\ y$ の関係式を導きます。

解法1

$w$ を極形式で $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおく。$w \neq 0$ より $r > 0$ である。

ド・モアブルの定理より

$$ \frac{1}{w} = w^{-1} = r^{-1}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta) $$

よって、

$$ w + \frac{1}{w} = \left(r + \frac{1}{r}\right)\cos\theta + i\left(r - \frac{1}{r}\right)\sin\theta $$

$x,\ y$ は $w + \dfrac{1}{w} = x + yi$ を満たす実数であるから、実部と虚部を比較して

$$ x = \left(r + \frac{1}{r}\right)\cos\theta \quad \cdots① $$

$$ y = \left(r - \frac{1}{r}\right)\sin\theta \quad \cdots② $$

(1)

$w$ が絶対値 $R$ の複素数全体を動くとき、$r = R$ であり、$\theta$ は $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲を動く。

$R > 1$ より $R + \dfrac{1}{R} > 0$ かつ $R - \dfrac{1}{R} > 0$ であるから、①, ②より

$$ \cos\theta = \frac{x}{R + \dfrac{1}{R}}, \qquad \sin\theta = \frac{y}{R - \dfrac{1}{R}} $$

これらを $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ に代入すると、

$$ \frac{x^2}{\left(R + \dfrac{1}{R}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(R - \dfrac{1}{R}\right)^2} = 1 $$

$\theta$ が $0 \leq \theta < 2\pi$ を動くとき、$\cos\theta,\ \sin\theta$ は $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を満たすすべての実数値の組をとるため、点 $(x, y)$ はこの楕円全体を動く。

(2)

$w$ が偏角 $\alpha$ の複素数全体を動くとき、$\theta = \alpha$ であり、$r$ は $r > 0$ の範囲を動く。

①, ②より

$$ x = \left(r + \frac{1}{r}\right)\cos\alpha \quad \cdots③ $$

$$ y = \left(r - \frac{1}{r}\right)\sin\alpha \quad \cdots④ $$

$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ より $\cos\alpha > 0,\ \sin\alpha > 0$ であるから、

$$ \frac{x}{\cos\alpha} = r + \frac{1}{r}, \qquad \frac{y}{\sin\alpha} = r - \frac{1}{r} $$

辺々を2乗して差をとると、

$$ \frac{x^2}{\cos^2\alpha} - \frac{y^2}{\sin^2\alpha} = \left(r + \frac{1}{r}\right)^2 - \left(r - \frac{1}{r}\right)^2 = 4 $$

両辺を4で割ると、

$$ \frac{x^2}{4\cos^2\alpha} - \frac{y^2}{4\sin^2\alpha} = 1 \quad \cdots⑤ $$

また、$r > 0$ より、相加平均と相乗平均の大小関係から

$$ r + \frac{1}{r} \geq 2\sqrt{r \cdot \frac{1}{r}} = 2 $$

（等号成立は $r = 1$ のとき）

$\cos\alpha > 0$ であるため、③より $x = \left(r + \dfrac{1}{r}\right)\cos\alpha \geq 2\cos\alpha$ となる。

$r$ が $r > 0$ を動くとき、$r - \dfrac{1}{r}$ はすべての実数値をとるため、④より $y$ もすべての実数値をとる。

したがって、点 $(x, y)$ の軌跡は双曲線⑤の $x \geq 2\cos\alpha$ を満たす部分である。

解説

複素数平面におけるジューコフスキー変換 $\left(z \mapsto z + \dfrac{1}{z}\right)$ を題材にした有名な軌跡の問題です。原点を中心とする円が楕円に、原点を端点とする半直線が双曲線に写されるという美しい幾何学的性質を持っています。

(1), (2) ともに極形式を利用して媒介変数表示を導き、動かない変数を定数として扱いながら動く変数（$\theta$ または $r$）を消去するという軌跡の基本手順に従います。特に (2) では、$r > 0$ という条件から相加相乗平均の大小関係などを用いて $x$ の変域（$x \geq 2\cos\alpha$）を特定する過程が重要で、これを忘れると双曲線全体を答えてしまい減点対象となります。