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九州大学 2003年理系第5問解説

方針・初手

(1) は複素数 $z = t+ai$ を $z^2$ の式に代入し、実部と虚部をそれぞれ $x, y$ とおいて媒介変数 $t$ を消去することで、求める軌跡の方程式を導出します。

(2) は直線 $l$ 上の点を $\theta$ だけ回転移動した直線 $m$ を数式で表し、(1) で求めた軌跡との交点をもつ条件を考えます。直線 $m$ 上の点と軌跡上の点を複素数のまま立式し、等置して連立方程式を解く方針（解法1）と、座標平面の $x, y$ の方程式として連立する方針（解法2）が考えられます。いずれも交点の個数を求めるため、媒介変数を消去して2次方程式の判別式を利用しますが、1次方程式になる例外的な場合（$\sin\theta = 0$）を忘れないように注意が必要です。

解法1

(1)

$z = t+ai$ （$t$ は実数）より、

$$ z^2 = (t+ai)^2 = t^2 - a^2 + 2ati $$

$z^2$ が表す点を複素数平面上で $x+yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、実部と虚部を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} x = t^2 - a^2 \\ y = 2at \end{cases} $$

$a > 0$ より、第2式から $t = \frac{y}{2a}$ となる。これを第1式に代入して $t$ を消去する。

$$ x = \left(\frac{y}{2a}\right)^2 - a^2 = \frac{y^2}{4a^2} - a^2 $$

したがって、$z^2$ が表す点の軌跡は、頂点が $(-a^2, 0)$ で実軸を軸とする放物線である。また、$x=0$ のとき $y^2 = 4a^4$ より $y = \pm 2a^2$ となるため、虚軸との交点は $(0, 2a^2), (0, -2a^2)$ である。図示する際は、これらの点を通る右開きの放物線を描く。

(2)

直線 $m$ 上の点を表す複素数を $w$ とすると、$w$ は $l$ 上の点 $t+ai$ を原点を中心に $\theta$ だけ回転移動した点であるから、

$$ \begin{aligned} w &= (\cos\theta + i\sin\theta)(t + ai) \\ &= (t\cos\theta - a\sin\theta) + i(t\sin\theta + a\cos\theta) \end{aligned} $$

と表せる（$t$ は実数）。この点 $w$ が (1) で求めた軌跡上にあるとき、ある実数 $s$ を用いて $w = (s+ai)^2 = s^2 - a^2 + 2asi$ と表せる。これらが一致する条件は、実部と虚部を比較して

$$ \begin{cases} s^2 - a^2 = t\cos\theta - a\sin\theta & \cdots \text{①} \\ 2as = t\sin\theta + a\cos\theta & \cdots \text{②} \end{cases} $$

軌跡上の点は実数 $s$ と1対1に対応し、直線 $m$ 上の点は実数 $t$ と1対1に対応するため、求める交点の個数は、この連立方程式を満たす実数 $(s, t)$ の組の個数に等しい。

(i) $\sin\theta = 0$ のとき

②より $2as = a\cos\theta$。$a > 0$ であるから $s = \frac{\cos\theta}{2}$ と1つに定まる。これを①に代入すると、$\cos\theta = \pm 1$ に応じて $t\cos\theta$ の値が定まり、$t$ も1つに定まる。よって、実数 $(s, t)$ の組は1つであり、交点の個数は1個。

(ii) $\sin\theta \neq 0$ のとき

②より $t = \frac{2as - a\cos\theta}{\sin\theta}$ となる。これを①に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} s^2 - a^2 &= \frac{2as\cos\theta - a\cos^2\theta}{\sin\theta} - a\sin\theta \\ s^2 - \frac{2a\cos\theta}{\sin\theta}s - a^2 + \frac{a\cos^2\theta + a\sin^2\theta}{\sin\theta} &= 0 \\ s^2 - \frac{2a\cos\theta}{\sin\theta}s - a^2 + \frac{a}{\sin\theta} &= 0 \end{aligned} $$

この $s$ についての2次方程式の実数解の個数が、求める交点の個数である。判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= \left(\frac{a\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2 - \left(- a^2 + \frac{a}{\sin\theta}\right) \\ &= \frac{a^2\cos^2\theta}{\sin^2\theta} + a^2 - \frac{a}{\sin\theta} \\ &= \frac{a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}{\sin^2\theta} - \frac{a}{\sin\theta} \\ &= \frac{a^2}{\sin^2\theta} - \frac{a}{\sin\theta} \\ &= \frac{a}{\sin^2\theta}(a - \sin\theta) \end{aligned} $$

$a > 0$ かつ $\sin\theta \neq 0$ より $\frac{a}{\sin^2\theta} > 0$ であるから、$D$ の符号は $a - \sin\theta$ の符号と一致する。したがって、実数解の個数は以下のようになる。

$\sin\theta < a$ のとき $D > 0$ より 2個
$\sin\theta = a$ のとき $D = 0$ より 1個
$\sin\theta > a$ のとき $D < 0$ より 0個

(i) と (ii) の結果をまとめると、$-1 \le \sin\theta \le 1$ であることに注意して、

$-1 \le \sin\theta < 0, \ 0 < \sin\theta < a$ のとき 2個
$\sin\theta = 0, a$ のとき 1個
$a < \sin\theta \le 1$ のとき 0個

解法2

(2)

座標平面上の図形の方程式として交点を考える。 (1) より、求める軌跡は放物線 $x = \frac{y^2}{4a^2} - a^2$ である。直線 $l$ は $z = t+ai$ より $y = a$ である。これを原点中心に $\theta$ 回転した直線 $m$ の方程式を求める。 $l$ 上の点を $\theta$ 回転した点を $(X, Y)$ とすると、逆に $(X, Y)$ を $-\theta$ 回転した点は $l$ 上にあるので、

$$ -X\sin\theta + Y\cos\theta = a $$

これが直線 $m$ の方程式である。この直線と放物線 $y^2 = 4a^2(x + a^2)$ の交点の個数を調べる。

(i) $\sin\theta = 0$ のとき

直線 $m$ の方程式は $Y\cos\theta = a$ であり、$\cos\theta = \pm 1$ より $Y = \pm a$（$x$軸に平行な直線）となる。これを放物線の方程式に代入すると、

$$ a^2 = 4a^2(x + a^2) \iff x = \frac{1}{4} - a^2 $$

$Y=a, -a$ のそれぞれに対して $x$ 座標が1つに定まるため、交点の個数は1個。

(ii) $\sin\theta \neq 0$ のとき

直線 $m$ の方程式より $x = \frac{y\cos\theta - a}{\sin\theta}$。これを放物線の方程式に代入する。

$$ \begin{aligned} y^2 &= 4a^2\left(\frac{y\cos\theta - a}{\sin\theta} + a^2\right) \\ y^2 - \frac{4a^2\cos\theta}{\sin\theta}y + \frac{4a^3}{\sin\theta} - 4a^4 &= 0 \end{aligned} $$

この $y$ の2次方程式の実数解の個数が交点の個数に一致する。判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= \left(\frac{2a^2\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2 - \left(\frac{4a^3}{\sin\theta} - 4a^4\right) \\ &= \frac{4a^4\cos^2\theta}{\sin^2\theta} - \frac{4a^3}{\sin\theta} + 4a^4 \\ &= \frac{4a^4(1-\sin^2\theta)}{\sin^2\theta} - \frac{4a^3}{\sin\theta} + 4a^4 \\ &= \frac{4a^4}{\sin^2\theta} - \frac{4a^3}{\sin\theta} \\ &= \frac{4a^3}{\sin^2\theta}(a - \sin\theta) \end{aligned} $$

$a > 0$ かつ $\sin\theta \neq 0$ より $\frac{4a^3}{\sin^2\theta} > 0$ であるから、あとは解法1と同様に $a - \sin\theta$ の符号を調べればよい。

解説

複素数平面における軌跡の標準的な問題です。媒介変数 $t$ を消去して $x, y$ の関係式を導く処理は必ずできるようにしておきましょう。 (2) において図形の回転移動を処理する際、解法1のように複素数の積のまま計算して係数比較を行う手法と、解法2のように座標平面上の $x, y$ の関係式に変換する手法があります。どちらでも立式される2次方程式の判別式の構造は同じになります。場合分けにおいて $\sin\theta = 0$ が例外となる理由は、直線 $m$ が $x$軸に平行となり、放物線の軸と平行になるため、交点が1つに減るからです（方程式上では、$x$ について解いたときに2次の項が消えることに対応します）。ここを見落とさないようにすることが本問のポイントです。また、問題文の条件 $0 < a < 1$ は、$\sin\theta = a$ となる状況が実際に存在するために機能しています。