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東京工業大学 2022年理系第4問解説

方針・初手

（1）は、与えられた関係式 $w = \frac{z - 3}{1 - 2z}$ を $z$ について解き、条件式 $|z - 1| = a$ に代入して $w$ の方程式を導く。得られた方程式が円を表すための $a$ の条件（2次の項の係数が $0$ にならないこと）を求め、平方完成により中心と半径を決定する。

（2）は、（1）で求めた円の中心と半径を用いて、虚軸に平行な直径となる線分上の点 $w = x + yi$ が満たす媒介変数表示を得る。媒介変数 $a$ を消去して $x, y$ の関係式（不等式）を導き、パラメータの定義域から $x, y$ の範囲を制限して領域を特定する。

解法1

(1)

与えられた式 $w = \frac{z - 3}{1 - 2z}$ を変形する。

$$ w(1 - 2z) = z - 3 $$

$$ (2w + 1)z = w + 3 $$

ここで $w = -\frac{1}{2}$ とすると $0 = \frac{5}{2}$ となり不適であるから、$w \neq -\frac{1}{2}$ である。よって両辺を $2w + 1$ で割ることができ、

$$ z = \frac{w + 3}{2w + 1} $$

となる。条件 $z \neq \frac{1}{2}$ について確認すると、$z = \frac{1}{2}$ のとき

$$ \frac{w + 3}{2w + 1} = \frac{1}{2} $$

$$ 2w + 6 = 2w + 1 $$

$$ 6 = 1 $$

となり不適である。したがって、任意の $w \neq -\frac{1}{2}$ に対して $z \neq \frac{1}{2}$ は自動的に満たされる。

これを条件式 $|z - 1| = a$ に代入する。

$$ \left| \frac{w + 3}{2w + 1} - 1 \right| = a $$

$$ \left| \frac{w + 3 - (2w + 1)}{2w + 1} \right| = a $$

$$ \left| \frac{-w + 2}{2w + 1} \right| = a $$

$$ |w - 2| = a|2w + 1| $$

両辺を2乗する。

$$ |w|^2 - 2(w + \bar{w}) + 4 = a^2 \left( 4|w|^2 + 2(w + \bar{w}) + 1 \right) $$

$$ (1 - 4a^2)|w|^2 - 2(1 + a^2)(w + \bar{w}) + 4 - a^2 = 0 $$

図形 $\text{K}$ が円となるための条件は、$|w|^2$ の係数が $0$ でないことである。

$$ 1 - 4a^2 \neq 0 $$

$a$ は正の実数であるから、$a \neq \frac{1}{2}$ となる。

したがって、$\text{K}$ が円となるための $a$ の条件は

$$ a > 0 \quad \text{かつ} \quad a \neq \frac{1}{2} $$

このとき、方程式の両辺を $1 - 4a^2$ で割り、平方完成を行う。

$$ |w|^2 - \frac{2(1 + a^2)}{1 - 4a^2}(w + \bar{w}) + \frac{4 - a^2}{1 - 4a^2} = 0 $$

$$ \left| w - \frac{2(1 + a^2)}{1 - 4a^2} \right|^2 = \frac{4(1 + a^2)^2}{(1 - 4a^2)^2} - \frac{4 - a^2}{1 - 4a^2} $$

右辺を計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{4(1 + a^2)^2 - (4 - a^2)(1 - 4a^2)}{(1 - 4a^2)^2} &= \frac{4(1 + 2a^2 + a^4) - (4 - 17a^2 + 4a^4)}{(1 - 4a^2)^2} \\ &= \frac{4 + 8a^2 + 4a^4 - 4 + 17a^2 - 4a^4}{(1 - 4a^2)^2} \\ &= \frac{25a^2}{(1 - 4a^2)^2} \end{aligned} $$

したがって、円の方程式は次のように表される。

$$ \left| w - \frac{2(a^2 + 1)}{1 - 4a^2} \right|^2 = \left( \frac{5a}{|1 - 4a^2|} \right)^2 $$

これにより、中心の複素数は $\frac{2(a^2 + 1)}{1 - 4a^2}$、半径は $\frac{5a}{|1 - 4a^2|}$ となる。

(2)

（1）より、円 $\text{K}$ の中心を $C(c)$、半径を $r$ とおくと、

$$ c = \frac{2(a^2 + 1)}{1 - 4a^2}, \quad r = \frac{5a}{|1 - 4a^2|} $$

である。中心 $c$ は実数であるから、虚軸に平行で円 $\text{K}$ の直径となる線分上の点 $w = x + yi$ （$x, y$ は実数）は、次の条件を満たす。

$$ x = \frac{2(a^2 + 1)}{1 - 4a^2} $$

$$ -r \leq y \leq r \iff y^2 \leq \frac{25a^2}{(1 - 4a^2)^2} $$

まず、$x$ の関係式から $a^2$ を求める。

$$ x(1 - 4a^2) = 2a^2 + 2 $$

$$ (4x + 2)a^2 = x - 2 $$

ここで $4x + 2 = 0$ すなわち $x = -\frac{1}{2}$ とすると、左辺は $0$、右辺は $-\frac{5}{2}$ となり等式が成立しないため、$x \neq -\frac{1}{2}$ である。よって

$$ a^2 = \frac{x - 2}{4x + 2} $$

条件 $a > 0$ かつ $a \neq \frac{1}{2}$ より、$a^2 > 0$ かつ $a^2 \neq \frac{1}{4}$ である。

$a^2 > 0$ より、

$$ \frac{x - 2}{2(2x + 1)} > 0 \iff (x - 2)(2x + 1) > 0 $$

これを解いて、

$$ x < -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad x > 2 $$

また、$a^2 \neq \frac{1}{4}$ とすると、

$$ \frac{x - 2}{4x + 2} \neq \frac{1}{4} \iff 4x - 8 \neq 4x + 2 \iff -8 \neq 2 $$

となり、これは常に成り立つ。

次に、$y^2$ の不等式に $a^2$ の式を代入し、$x, y$ の関係式を導く。まず $1 - 4a^2$ を計算する。

$$ 1 - 4a^2 = 1 - 4 \cdot \frac{x - 2}{4x + 2} = \frac{4x + 2 - (4x - 8)}{4x + 2} = \frac{10}{2(2x + 1)} = \frac{5}{2x + 1} $$

これを用いて $y^2$ の不等式を書き換える。

$$ y^2 \leq \frac{25 \cdot \frac{x - 2}{2(2x + 1)}}{\left( \frac{5}{2x + 1} \right)^2} $$

$$ y^2 \leq \frac{25(x - 2)}{2(2x + 1)} \cdot \frac{(2x + 1)^2}{25} $$

$$ y^2 \leq \frac{1}{2}(x - 2)(2x + 1) $$

展開して整理すると、

$$ y^2 \leq x^2 - \frac{3}{2}x - 1 $$

$$ x^2 - \frac{3}{2}x - y^2 \geq 1 $$

平方完成を行う。

$$ \left( x - \frac{3}{4} \right)^2 - y^2 \geq \frac{25}{16} $$

方程式 $\left( x - \frac{3}{4} \right)^2 - y^2 = \frac{25}{16}$ は、中心が $\left( \frac{3}{4}, 0 \right)$、頂点が $\left( -\frac{1}{2}, 0 \right)$ および $(2, 0)$ の双曲線を表す。

不等式 $\left( x - \frac{3}{4} \right)^2 - y^2 \geq \frac{25}{16}$ は、この双曲線およびその焦点を含む側の領域（左右に分かれた領域）を表す。ここで、実数 $y$ が存在するための条件は $\left( x - \frac{3}{4} \right)^2 \geq \frac{25}{16}$ より $x \leq -\frac{1}{2}$ または $x \geq 2$ であるが、先ほど求めた条件 $x < -\frac{1}{2}$ または $x > 2$ より、境界の頂点である点 $\left( -\frac{1}{2}, 0 \right)$ および $(2, 0)$ は除外される。その他の境界線上の点は含まれる。

したがって、求める領域は、複素数平面上で $w = x + yi$ とおいたとき、連立不等式

$$ \begin{cases} \left( x - \frac{3}{4} \right)^2 - y^2 \geq \frac{25}{16} \\ x < -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad x > 2 \end{cases} $$

が表す領域である。図示すると、双曲線 $\left( x - \frac{3}{4} \right)^2 - y^2 = \frac{25}{16}$ の右側および左側の領域であり、境界線は頂点の $2$ 点を除いてすべて含む。

解説

アポロニウスの円の軌跡と、パラメータが動くときの通過領域を求める標準的な問題である。

（1）では、与えられた分数変換を逆について解き、$|z - 1| = a$ に代入する軌跡の基本手技を用いる。得られた方程式から円になるための条件を忘れずに確認し、正確な計算で中心と半径を求める必要がある。

（2）は通過領域の求値であり、中心の $x$ 座標と半径の条件から $y$ の範囲を表す不等式を作り、そこからパラメータ $a$ を消去するという「存在条件への帰着」を用いると見通しが良い。パラメータ $a$ のとりうる範囲から $x$ の範囲が制限され、領域の境界において頂点が除外点となることに注意が必要である。