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京都大学 2020年理系第1問解説

方針・初手

方程式の係数がすべて実数であることに着目します。実係数3次方程式は、少なくとも1つの実数解を持ちます。3つの解が複素数平面上で正三角形をなすことから、これらはすべてが実数となることはなく、1つの実数解と、互いに共役な2つの虚数解からなることが分かります。ここから、正三角形の「重心」や「対称性」に着目して解の形を絞り込むアプローチ（解法1）と、実数解と虚数解を直接文字でおいて解と係数の関係を用いるアプローチ（解法2）が考えられます。

解法1

方程式 $z^3 + 3az^2 + bz + 1 = 0 \cdots (*)$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta + \gamma = -3a $$

複素数平面上で3解がなす正三角形の重心は、$\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3} = -a$ である。正三角形の重心は外心と一致するため、3つの解は点 $-a$ を中心とする外接円上にある。正三角形の一辺の長さが $\sqrt{3}a$ であるから、正弦定理より外接円の半径 $R$ は

$$ 2R = \frac{\sqrt{3}a}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2a \implies R = a $$

したがって、3つの解は点 $-a$ からの距離が $a$ であり、互いに偏角が $\frac{2}{3}\pi$ ずつ離れている。ゆえに、3つの解は $(z - (-a))^3 = c$ （$c$ は定数）すなわち $(z+a)^3 = c$ の解として表される。 $|z+a| = a$ であるから、定数 $c$ は $|c| = a^3$ を満たす。また、$(*)$ は実数係数であるため、3解のうち少なくとも1つは実数である。実数解を代入したとき $z+a$ は実数となるから、その3乗である $c$ も実数である。 $|c| = a^3$ かつ $c$ が実数であることより、$c = a^3$ または $c = -a^3$ となる。

(i) $c = a^3$ のとき

方程式は $(z+a)^3 = a^3 \iff z^3 + 3az^2 + 3a^2z = 0$ となる。これが $(*)$ と一致するなら定数項が $0$ となるが、$(*)$ の定数項は $1$ であるため不適。

(ii) $c = -a^3$ のとき

方程式は $(z+a)^3 = -a^3 \iff z^3 + 3az^2 + 3a^2z + 2a^3 = 0$ となる。これが $(*)$ と一致するための条件は、係数を比較して

$$ b = 3a^2, \quad 1 = 2a^3 $$

$2a^3 = 1$ より $a^3 = \frac{1}{2}$。$a > 0$ であるから $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$。このとき、$b = 3a^2 = 3 \left( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)^2 = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ である。方程式の解は $(z+a)^3 = -a^3$ より

$$ z+a = -a, \ -a \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \right), \ -a \left( \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \right) $$

$$ z = -2a, \ a \left( \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \right), \ a \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \right) $$

$a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ を代入して、解は $z = -\frac{2}{\sqrt[3]{2}}, \ \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2\sqrt[3]{2}}$

解法2

$(*)$ は実数係数の3次方程式であり、3解が正三角形をなすことから、1つの実数解と互いに共役な2つの虚数解をもつ。実数解を $\alpha$、虚数解を $p \pm qi$ （$p, q$ は実数、$q > 0$）とおく。複素数平面上で、これら3点は正三角形の頂点をなし、2つの虚数解を結ぶ線分は実軸と直交する。その長さは $|(p+qi) - (p-qi)| = 2q$ であり、これが正三角形の一辺の長さ $\sqrt{3}a$ に等しいため

$$ 2q = \sqrt{3}a \implies q = \frac{\sqrt{3}}{2}a $$

また、実軸はこの正三角形の対称軸（2虚数解を結ぶ辺の垂直二等分線）であり、点 $\alpha$ からこの辺までの距離は正三角形の高さに等しい。正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}a = \frac{3}{2}a$ であるから

$$ |\alpha - p| = \frac{3}{2}a \cdots ① $$

解と係数の関係より

$$ \alpha + (p+qi) + (p-qi) = -3a \implies \alpha = -3a - 2p $$

これを ① に代入すると

$$ |-3a - 3p| = \frac{3}{2}a \implies |-a - p| = \frac{1}{2}a \implies |p+a| = \frac{1}{2}a $$

$a > 0$ より $p+a = \pm \frac{1}{2}a$ すなわち $p = -\frac{1}{2}a$ または $p = -\frac{3}{2}a$。

[1] $p = -\frac{3}{2}a$ のとき

$\alpha = -3a - 2(-\frac{3}{2}a) = 0$ となるが、$(*)$ に $z=0$ を代入すると $1=0$ となり矛盾するため不適。

[2] $p = -\frac{1}{2}a$ のとき

$\alpha = -3a - 2(-\frac{1}{2}a) = -2a$ このとき、解と係数の関係 $\alpha \cdot (p+qi) \cdot (p-qi) = -1$ より

$$ \alpha(p^2+q^2) = -1 $$

$$ -2a \left( \frac{1}{4}a^2 + \frac{3}{4}a^2 \right) = -1 $$

$$ -2a^3 = -1 \implies a^3 = \frac{1}{2} $$

$a > 0$ より $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$。さらに、解と係数の関係 $\alpha(p+qi) + (p+qi)(p-qi) + (p-qi)\alpha = b$ より

$$ b = 2p\alpha + p^2 + q^2 = 2\left(-\frac{1}{2}a\right)(-2a) + a^2 = 3a^2 $$

よって $b = 3 \left( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)^2 = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$。 3つの解は $\alpha = -2a = -\frac{2}{\sqrt[3]{2}} = -\sqrt[3]{4}$、および $p \pm qi = -\frac{1}{2}a \pm \frac{\sqrt{3}}{2}ai = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2\sqrt[3]{2}}$。

解説

実係数方程式の虚数解は必ず共役なペアで現れるという性質と、複素数平面上の図形的性質を結びつける良問です。解法1のように「重心」と「円（正三角形の外接円）」の概念を用いると、解が $(z - \text{重心})^3 = \text{定数}$ の方程式から生成されることに気づけ、計算量が大幅に削減できます。複素数平面における正多角形の頂点は、$z^n = c$ の解の平行移動によって表せることを覚えておくと強力な武器になります。解法2のように実部と虚部を文字でおいて解き進める場合でも、図形的な対称性から連立方程式をスムーズに立てることが重要です。