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京都大学 2020年理系第3問解説

方針・初手

与えられた4つのベクトルはすべて大きさが1です。内積の条件式から $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}$ などの対称性が見えるため、差をとって直交するベクトルを見つけます。 $(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC} = 0$ などから、ベクトル $\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ が共面（同一平面上にある）ことを見抜くのが第一の解法です。または、$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ を $xy$ 平面上に固定して座標を設定し、成分計算でアプローチする方針も有効です。

解法1

$\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}, \vec{c} = \overrightarrow{OC}, \vec{d} = \overrightarrow{OD}$ とおく。球面上の点であるから、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 1$ である。与えられた条件より

$$ \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} \iff (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{d} \iff (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{d} = 0 $$

また、

$$ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 1 - 1 = 0 $$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \neq 1$ より $\vec{a} \neq \vec{b}$ であるから、$\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{0}$。 $\vec{c}, \vec{d}, \vec{a} + \vec{b}$ はいずれも非零ベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ に垂直であるから、これら3つのベクトルは同一平面上にある（一次従属である）。したがって、実数 $s, t$ を用いて

$$ \vec{d} = s(\vec{a} + \vec{b}) + t\vec{c} $$

と表すことができる。

与えられた内積の条件を用いて $s, t$ を求める。 (i) $\vec{c} \cdot \vec{d} = \frac{1}{2}$ より

$$ \vec{c} \cdot \{ s(\vec{a} + \vec{b}) + t\vec{c} \} = \frac{1}{2} $$

$$ s(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) + t|\vec{c}|^2 = \frac{1}{2} $$

$$ s \left( -\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} \right) + t \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

$$ t - \frac{\sqrt{6}}{2} s = \frac{1}{2} \iff t = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} s \quad \cdots ① $$

(ii) $|\vec{d}|^2 = 1$ より

$$ | s(\vec{a} + \vec{b}) + t\vec{c} |^2 = 1 $$

$$ s^2 |\vec{a} + \vec{b}|^2 + 2st (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} + t^2 |\vec{c}|^2 = 1 \quad \cdots ② $$

ここで、

$$ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 3 $$

$$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{\sqrt{6}}{4} \times 2 = -\frac{\sqrt{6}}{2} $$

これらを②に代入すると

$$ 3s^2 - \sqrt{6}st + t^2 = 1 $$

①を代入して整理する。

$$ 3s^2 - \sqrt{6}s \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} s \right) + \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} s \right)^2 = 1 $$

$$ 3s^2 - \frac{\sqrt{6}}{2}s - 3s^2 + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2}s + \frac{6}{4}s^2 = 1 $$

$$ \frac{3}{2}s^2 + \frac{1}{4} = 1 $$

$$ \frac{3}{2}s^2 = \frac{3}{4} \iff s^2 = \frac{1}{2} \iff s = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $$

(iii) $\vec{a} \cdot \vec{d} = k$ より

$$ \vec{a} \cdot \{ s(\vec{a} + \vec{b}) + t\vec{c} \} = k $$

$$ s(|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}) + t(\vec{a} \cdot \vec{c}) = k $$

$$ s \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + t \left( -\frac{\sqrt{6}}{4} \right) = k $$

$$ k = \frac{3}{2}s - \frac{\sqrt{6}}{4}t $$

①を代入すると

$$ k = \frac{3}{2}s - \frac{\sqrt{6}}{4} \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}s \right) $$

$$ k = \frac{3}{2}s - \frac{\sqrt{6}}{8} - \frac{6}{8}s = \frac{3}{4}s - \frac{\sqrt{6}}{8} $$

$k$ は正の実数であるから、$s = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき

$$ k = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} $$

これは $\sqrt{18} > \sqrt{6}$ より正であり、条件を満たす。 $s = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のときは $k < 0$ となり不適である。よって、$k = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$ である。

解法2

（座標設定による解法） $\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}, \vec{c} = \overrightarrow{OC}, \vec{d} = \overrightarrow{OD}$ とする。 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ かつ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ より、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $60^\circ$ である。一般性を失わず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を $xy$ 平面上にとり、$x$ 軸に関して対称になるように座標を設定できる。

$$ \vec{a} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right), \quad \vec{b} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0 \right) $$

$\vec{c} = (x_1, y_1, z_1)$ とおく。

$$ \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}x_1 + \frac{1}{2}y_1 = -\frac{\sqrt{6}}{4} $$

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}x_1 - \frac{1}{2}y_1 = -\frac{\sqrt{6}}{4} $$

辺々を足し引きすることで $x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, y_1 = 0$ を得る。 $|\vec{c}|^2 = 1$ より $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 1$ だから、$z_1^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。よって $z_1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。ここでは $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ として進める（複号のどちらでも結果は同じになる）。

$$ \vec{c} = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $$

次に $\vec{d} = (x_2, y_2, z_2)$ とおく。

$$ \vec{a} \cdot \vec{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}x_2 + \frac{1}{2}y_2 = k $$

$$ \vec{b} \cdot \vec{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}x_2 - \frac{1}{2}y_2 = k $$

同様にして $x_2 = \frac{2k}{\sqrt{3}}, y_2 = 0$ を得る。 $|\vec{d}|^2 = 1$ より $z_2^2 = 1 - \frac{4}{3}k^2 \quad \cdots ③$ また、$\vec{c} \cdot \vec{d} = \frac{1}{2}$ より

$$ -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2k}{\sqrt{3}} + 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} z_2 = \frac{1}{2} $$

$$ -\frac{2k}{\sqrt{3}} + z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2k}{\sqrt{3}} $$

両辺を2乗すると

$$ z_2^2 = \frac{1}{2} + \frac{2\sqrt{2}k}{\sqrt{3}} + \frac{4}{3}k^2 $$

これと③から $z_2^2$ を消去する。

$$ 1 - \frac{4}{3}k^2 = \frac{1}{2} + \frac{2\sqrt{2}k}{\sqrt{3}} + \frac{4}{3}k^2 $$

$$ \frac{8}{3}k^2 + \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}k - \frac{1}{2} = 0 $$

両辺に $6$ を掛けて整理する。

$$ 16k^2 + 4\sqrt{6}k - 3 = 0 $$

解の公式より

$$ k = \frac{-2\sqrt{6} \pm \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 16 \cdot (-3)}}{16} = \frac{-2\sqrt{6} \pm \sqrt{72}}{16} = \frac{-\sqrt{6} \pm 3\sqrt{2}}{8} $$

$k > 0$ より $k = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$ である。

解説

空間ベクトルの計算問題です。内積の条件が多く与えられている場合、「等しい内積は差をとって直交条件を作る」という定石が強力に働きます。解法1のように共面条件（一次従属の考え方）に持ち込めるかどうかが、計算量を減らす鍵となります。試験本番でその性質に気づけなかった場合は、解法2のように自分で都合の良い座標系を設定し、成分計算に持ち込むという方針も極めて有効な手段です。図形の対称性を崩さないように（本問であれば $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を $x$ 軸対称に配置する）座標を置くのが計算ミスを防ぐコツです。