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大阪大学 2019年理系第5問解説

方針・初手

2つの球面 $S_1, S_2$ の中心間の距離と半径を比較することで、これらが交わり、共通部分が円となることを把握する。この円 $C$ を含む球面の方程式を求めるには、大きく分けて2つのアプローチがある。

1つ目は、空間図形としての性質を利用する方法である。球面 $S_1, S_2$ の中心を通る直線上に、求める球面の中心が存在することを利用し、三平方の定理を用いて中心と半径の条件を立式する。 2つ目は、平面や円板を束（図形の方程式の実数倍の和）で表す代数的な手法である。2つの球面の方程式から円 $C$ を含む平面の方程式を導き、それと球面 $S_1$ の式を組み合わせてパラメータ付きの球面の方程式を作り、半径の条件からパラメータを決定する。

解法1

$S_1$ の中心を $A(1, 1, 1)$、半径を $r_1 = \sqrt{7}$ とする。 $S_2$ の中心を $B(2, 3, 3)$、半径を $r_2 = 1$ とする。

中心間の距離 $AB$ は、

$$ AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 $$

$|r_1 - r_2| < AB < r_1 + r_2$ が成り立つため、$S_1$ と $S_2$ は交わり、共通部分 $C$ は空間上の円となる。

対称性より、円 $C$ の中心 $M$ は直線 $AB$ 上に存在する。円 $C$ の半径を $r$ とし、直線 $AB$ 上で点 $A$ から点 $M$ までの距離を $d$ とおく（$0 < d < 3$）。円 $C$ 上の点は球面 $S_1, S_2$ 上にもあるため、直角三角形について三平方の定理を用いると、次の連立方程式が得られる。

$$ \begin{cases} d^2 + r^2 = (\sqrt{7})^2 \\ (3-d)^2 + r^2 = 1^2 \end{cases} $$

第1式より $r^2 = 7 - d^2$。これを第2式に代入する。

$$ (3-d)^2 + 7 - d^2 = 1 $$

展開して整理する。

$$ 9 - 6d + d^2 + 7 - d^2 = 1 $$

$$ 16 - 6d = 1 $$

$$ 6d = 15 \implies d = \frac{5}{2} $$

このとき、$r^2 = 7 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 7 - \frac{25}{4} = \frac{3}{4}$ となり、$r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を得る。また、点 $M$ は線分 $AB$ を $\frac{5}{2} : \frac{1}{2} = 5 : 1$ に内分する点であるため、位置ベクトル $\vec{OM}$ は次のように求まる。

$$ \vec{OM} = \frac{\vec{OA} + 5\vec{OB}}{6} = \frac{1}{6} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 11 \\ 16 \\ 16 \end{pmatrix} = \left(\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right) $$

(1)

「$S_1$ との共通部分が $C$ となるような球面」のうち、半径が最小となるものは、円 $C$ を大円とする球面である。したがって、求める球面の中心は $M$、半径は $r$ である。球面の方程式は次のようになる。

$$ \left(x - \frac{11}{6}\right)^2 + \left(y - \frac{8}{3}\right)^2 + \left(z - \frac{8}{3}\right)^2 = \frac{3}{4} $$

(2)

求める球面の中心を $P$ とする。対称性から点 $P$ は直線 $AB$ 上に存在する。 $P$ から円 $C$ の周上の点までの距離が $\sqrt{3}$ であり、円 $C$ の半径は $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。 $P$ と $M$ の距離 $PM$ は、直角三角形における三平方の定理より、

$$ PM^2 + r^2 = (\sqrt{3})^2 $$

$$ PM^2 + \frac{3}{4} = 3 \implies PM^2 = \frac{9}{4} \implies PM = \frac{3}{2} $$

直線 $AB$ の単位方向ベクトル $\vec{u}$ は、

$$ \vec{u} = \frac{1}{AB} \vec{AB} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

中心 $P$ は、点 $M$ から直線 $AB$ 上を距離 $\frac{3}{2}$ だけ移動した位置にあるので、

$$ \vec{OP} = \vec{OM} \pm \frac{3}{2} \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{11}{6} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix} \pm \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{6} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

複号が $+$ のとき：

$$ \vec{OP} = \begin{pmatrix} \frac{11}{6} + \frac{3}{6} \\ \frac{8}{3} + \frac{3}{3} \\ \frac{8}{3} + \frac{3}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{14}{6} \\ \frac{11}{3} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix} = \left(\frac{7}{3}, \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) $$

複号が $-$ のとき：

$$ \vec{OP} = \begin{pmatrix} \frac{11}{6} - \frac{3}{6} \\ \frac{8}{3} - \frac{3}{3} \\ \frac{8}{3} - \frac{3}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{6} \\ \frac{5}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} = \left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) $$

これらが求める球面の中心となる。半径は $\sqrt{3}$ であるから、球面の方程式はそれぞれ以下のようになる。

$$ \left(x - \frac{7}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{11}{3}\right)^2 + \left(z - \frac{11}{3}\right)^2 = 3 $$

$$ \left(x - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{3}\right)^2 + \left(z - \frac{5}{3}\right)^2 = 3 $$

解法2

$S_1$ と $S_2$ の方程式をそれぞれ展開して整理する。

$$ S_1 : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 4 = 0 \quad \cdots ① $$

$$ S_2 : x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 6z + 21 = 0 \quad \cdots ② $$

$② - ①$ より、$x^2, y^2, z^2$ の項を消去すると、交わりの円 $C$ を含む平面の方程式が得られる。

$$ -2x - 4y - 4z + 25 = 0 \iff 2x + 4y + 4z - 25 = 0 \quad \cdots ③ $$

「$S_1$ との共通部分が $C$ となるような球面」とは、円 $C$ を含む球面のことであるから、実数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$ (x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 4) + t(2x + 4y + 4z - 25) = 0 $$

式を整理して、平方完成を行う。

$$ x^2 + y^2 + z^2 + 2(t-1)x + 2(2t-1)y + 2(2t-1)z - 25t - 4 = 0 $$

$$ \{x + (t-1)\}^2 + \{y + (2t-1)\}^2 + \{z + (2t-1)\}^2 = (t-1)^2 + 2(2t-1)^2 + 25t + 4 $$

右辺は半径の2乗を表すため、これを $R^2$ とおく。

$$ R^2 = (t^2 - 2t + 1) + 2(4t^2 - 4t + 1) + 25t + 4 = 9t^2 + 15t + 7 $$

したがって、この球面の中心は $(1-t, 1-2t, 1-2t)$、半径の2乗は $R^2 = 9t^2 + 15t + 7$ である。

(1)

半径が最小となるのは、$R^2$ が最小となるときである。

$$ R^2 = 9\left(t^2 + \frac{5}{3}t\right) + 7 = 9\left(t + \frac{5}{6}\right)^2 - 9\left(\frac{5}{6}\right)^2 + 7 = 9\left(t + \frac{5}{6}\right)^2 + \frac{3}{4} $$

$t = -\frac{5}{6}$ のとき、最小値 $\frac{3}{4}$ をとる。このとき、半径は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、中心の座標は

$$ \left(1 - \left(-\frac{5}{6}\right), 1 - 2\left(-\frac{5}{6}\right), 1 - 2\left(-\frac{5}{6}\right)\right) = \left(\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right) $$

よって、求める方程式は次のようになる。

$$ \left(x - \frac{11}{6}\right)^2 + \left(y - \frac{8}{3}\right)^2 + \left(z - \frac{8}{3}\right)^2 = \frac{3}{4} $$

(2)

半径が $\sqrt{3}$ となるとき、$R^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$ であるから、

$$ 9t^2 + 15t + 7 = 3 $$

$$ 9t^2 + 15t + 4 = 0 $$

$$ (3t + 1)(3t + 4) = 0 $$

これを解いて、$t = -\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}$。

(i)

$t = -\frac{1}{3}$ のとき中心の座標は

$$ \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right), 1 - 2\left(-\frac{1}{3}\right), 1 - 2\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) $$

球面の方程式は、

$$ \left(x - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{3}\right)^2 + \left(z - \frac{5}{3}\right)^2 = 3 $$

(ii)

$t = -\frac{4}{3}$ のとき中心の座標は

$$ \left(1 - \left(-\frac{4}{3}\right), 1 - 2\left(-\frac{4}{3}\right), 1 - 2\left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \left(\frac{7}{3}, \frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) $$

球面の方程式は、

$$ \left(x - \frac{7}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{11}{3}\right)^2 + \left(z - \frac{11}{3}\right)^2 = 3 $$

解説

図形を数式で処理する「代数的解法」と、図形そのものの構造を利用する「幾何的解法」の代表的な2通りのアプローチが可能な標準問題である。解法1のように空間図形を断面の平面（直角三角形）に落とし込んで三平方の定理を用いると、計算の負担を大幅に減らすことができる。解法2で用いた「束（そく）」の考え方は、2つの図形の交点を通り、未知の図形を1つの変数で設定できる強力な手法である。計算力に自信があれば、解法2で機械的に処理するのも有効な作戦となる。