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東京工業大学 2020年理系第3問解説

方針・初手

(1) では、与えられた3点 $P, Q, R$ の座標から、平面 $H$ の方程式を直ちに立てることができる。その後、線分 $AC, BC$ をパラメータ表示し、平面の方程式と連立することで交点 $T, S$ を求める。

(2) では、4点 $Q, R, S, T$ がすべて平面 $H$ 上にあることに着目する。これらが同一円周上にあるための条件は、平面図形の性質（円に内接する四角形の性質）に帰着できる。各点の座標から、直線 $QT$ と直線 $RS$ が点 $P$ で交わることを見抜き、方べきの定理の逆を活用するのが最も簡明な方針である。

解法1

(1)

平面 $H$ は $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ $Q(a, 0, 0)$、$R(0, b, 0)$、$P(0, 0, -2)$ で交わる。これらは座標軸上の点であるため、切片方程式を用いて平面 $H$ の方程式を以下のように表すことができる。

$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{-2} = 1 $$

次に、線分 $AC$ 上の点 $T$ の座標を求める。点 $T$ は線分 $AC$ 上にあるため、実数 $t \ (0 \le t \le 1)$ を用いて次のように表せる。

$$ (x, y, z) = (1-t)(3, 0, 0) + t(0, 0, 4) = (3-3t, 0, 4t) $$

点 $T$ は平面 $H$ 上の点でもあるため、これを平面 $H$ の方程式に代入する。

$$ \frac{3-3t}{a} - 2t = 1 $$

両辺に $a$ を掛けて整理する。

$$ 3 - 3t - 2at = a $$

$$ (2a+3)t = 3-a $$

$a > 0$ より $2a+3 > 0$ であるため、両辺を割ることができる。

$$ t = \frac{3-a}{2a+3} $$

条件 $0 < a < 3$ より、$0 < t < 1$ を満たすため、点 $T$ は確かに線分 $AC$ 上に存在する。求めた $t$ を座標の式に代入する。

$$ x = 3 - 3 \cdot \frac{3-a}{2a+3} = \frac{3(2a+3) - 3(3-a)}{2a+3} = \frac{9a}{2a+3} $$

$$ z = 4 \cdot \frac{3-a}{2a+3} = \frac{12-4a}{2a+3} $$

よって、点 $T$ の座標は以下のようになる。

$$ T \left( \frac{9a}{2a+3}, 0, \frac{12-4a}{2a+3} \right) $$

同様に、線分 $BC$ 上の点 $S$ について考える。実数 $s \ (0 \le s \le 1)$ を用いて次のように表せる。

$$ (x, y, z) = (1-s)(0, 3, 0) + s(0, 0, 4) = (0, 3-3s, 4s) $$

平面 $H$ の方程式に代入する。

$$ \frac{3-3s}{b} - 2s = 1 $$

$$ (2b+3)s = 3-b $$

$b > 0$ より $2b+3 > 0$ であるため、

$$ s = \frac{3-b}{2b+3} $$

条件 $0 < b < 3$ より $0 < s < 1$ を満たす。$s$ を代入して座標を求める。

$$ y = 3 - 3 \cdot \frac{3-b}{2b+3} = \frac{9b}{2b+3} $$

$$ z = 4 \cdot \frac{3-b}{2b+3} = \frac{12-4b}{2b+3} $$

よって、点 $S$ の座標は以下のようになる。

$$ S \left( 0, \frac{9b}{2b+3}, \frac{12-4b}{2b+3} \right) $$

(2)

(1) で求めた座標から、点 $P, Q, T$ の $y$ 座標はすべて $0$ であるため、これらは $zx$ 平面上にある。ベクトル $\vec{PQ}$ と $\vec{PT}$ を求める。

$$ \vec{PQ} = (a, 0, 2) $$

$$ \vec{PT} = \left( \frac{9a}{2a+3}, 0, \frac{12-4a}{2a+3} - (-2) \right) = \left( \frac{9a}{2a+3}, 0, \frac{18}{2a+3} \right) $$

したがって、これらには以下の関係が成り立つ。

$$ \vec{PT} = \frac{9}{2a+3} \vec{PQ} $$

条件 $0 < a < 3$ において、$\frac{9}{2a+3}$ は $1$ より大きい実数である。ゆえに、3点 $P, Q, T$ はこの順で同一直線上に並ぶ。同様に $yz$ 平面上の点である $P, R, S$ についても調べる。

$$ \vec{PR} = (0, b, 2) $$

$$ \vec{PS} = \left( 0, \frac{9b}{2b+3}, \frac{18}{2b+3} \right) = \frac{9}{2b+3} \vec{PR} $$

こちらも $0 < b < 3$ より $\frac{9}{2b+3} > 1$ となるため、3点 $P, R, S$ はこの順で同一直線上に並ぶ。

以上より、平面 $H$ 上の四角形 $QRST$ において、直線 $QT$ と直線 $RS$ は点 $P$ で交わっており、点の並び順は $P-Q-T$ および $P-R-S$ となっている。したがって、4点 $Q, R, S, T$ が同一円周上にあるための必要十分条件は、方べきの定理の逆より、

$$ PQ \cdot PT = PR \cdot PS $$

が成り立つことである。それぞれの線分の長さの条件をベクトルを用いて書き換える。

$$ | \vec{PQ} | \cdot \frac{9}{2a+3} | \vec{PQ} | = | \vec{PR} | \cdot \frac{9}{2b+3} | \vec{PR} | $$

$$ \frac{| \vec{PQ} |^2}{2a+3} = \frac{| \vec{PR} |^2}{2b+3} $$

$|\vec{PQ}|^2 = a^2+4$、$|\vec{PR}|^2 = b^2+4$ を代入する。

$$ \frac{a^2+4}{2a+3} = \frac{b^2+4}{2b+3} $$

分母を払い、展開して整理する。

$$ \begin{aligned} (a^2+4)(2b+3) &= (b^2+4)(2a+3) \\ 2a^2b + 3a^2 + 8b + 12 &= 2ab^2 + 3b^2 + 8a + 12 \\ 2ab(a-b) + 3(a^2-b^2) - 8(a-b) &= 0 \\ (a-b) \{ 2ab + 3(a+b) - 8 \} &= 0 \end{aligned} $$

中括弧の中を変形する。

$$ \begin{aligned} 2ab + 3a + 3b - 8 &= \frac{1}{2} \{ 4ab + 6a + 6b - 16 \} \\ &= \frac{1}{2} \{ (2a+3)(2b+3) - 25 \} \end{aligned} $$

したがって、求める必要十分条件は以下のようになる。

$$ a = b \quad \text{または} \quad (2a+3)(2b+3) = 25 $$

次に、この条件を満たす点 $(a,b)$ の範囲を $0 < a < 3, 0 < b < 3$ の領域内に図示する。

条件式は、直線 $b=a$ と双曲線 $b = \frac{8-3a}{2a+3}$ の和集合を表す。この双曲線は、$a=0$ のとき $b = \frac{8}{3}$、$b=0$ のとき $a = \frac{8}{3}$ を通る、原点側に凸な単調減少の曲線である。また、直線 $b=a$ との交点は、$(2a+3)^2 = 25$ より $2a+3 = \pm5$ であり、$a>0$ より $a=1, b=1$ となり、点 $(1,1)$ で交わる。

図示する範囲は、$ab$ 座標平面上において、・直線 $b = a$ の $0 < a < 3$ の部分・曲線 $b = \frac{8-3a}{2a+3}$ の $0 < a < \frac{8}{3}$ の部分を合わせた図形である。（両端点 $(0,0), (3,3), (\frac{8}{3}, 0), (0, \frac{8}{3})$ は含まない。）

解説

本問は空間図形を扱っているが、(2) ではすべての点が同一平面 $H$ 上にあるため、実質的には平面幾何の知識で処理できるかが問われている。

円に内接する四角形の条件を示すには、「対角の和が180度であること」や「方べきの定理の逆」を用いるのが定石である。本問では $P, Q, T$ と $P, R, S$ が同一直線上にあること（しかも $P$ を端とする半直線上にこの順で並ぶこと）が容易に示せるため、方べきの定理の逆を利用すると計算量が格段に減り、見通しよく解き進めることができる。