トップ› 京都大学› 1997年› 文系第2問

京都大学 1997年文系第2問解説

方針・初手

(イ) $\implies$ (ロ) と (ロ) $\implies$ (イ) の双方向から証明を行います。
(イ) $\implies$ (ロ) は、$n$ が $60$ の倍数であるときの具体的な約数を小さい順に書き出して、与えられた等式が成り立つか確認します。
(ロ) $\implies$ (イ) は、与えられた等式を $a_6 = \dots$ の形に変形し、$a_2, a_3$ の満たすべき条件を絞り込みます。$a_2$ は $1$ の次に小さい約数であるため「最小の素因数」となります。これに着目して、$a_2 = 2$ の場合と $a_2 \ge 3$ の場合に分けて調べます。

解法1

(イ) $\implies$ (ロ) の証明

$n$ は $60$ の倍数であるとする。 $n \ge 60$ であり、$60$ の約数は $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ の $12$ 個である。 $n$ はこれらの数をすべて約数にもつため、$n$ は $6$ 個以上の約数をもつ。また、$n$ の約数を小さい順に並べたとき、最初の $6$ 個は $60$ の約数のうち小さいほうから $6$ 個と完全に一致する。したがって、$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3, a_4 = 4, a_5 = 5, a_6 = 6$ となる。このとき、

$$ \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

一方、

$$ \frac{1}{a_2} = \frac{1}{2} $$

であるから、$\frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_6} = \frac{1}{a_2}$ が成り立つ。以上より、(イ) $\implies$ (ロ) が示された。

(ロ) $\implies$ (イ) の証明

$n$ は $6$ 個以上の約数をもち、$\frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_6} = \frac{1}{a_2}$ が成り立つとする。等式を変形すると、

$$ \frac{1}{a_6} = \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} = \frac{a_3 - a_2}{a_2 a_3} $$

$a_k$ は自然数であり、$a_2 < a_3 < a_6$ より $a_3 - a_2 > 0$ であるから、

$$ a_6 = \frac{a_2 a_3}{a_3 - a_2} \quad \cdots (*) $$

また、$a_2$ は $1$ の次に小さい約数であるため、$n$ の最小の素因数である。

(i) $a_2 = 2$ の場合

$(*)$ より、

$$ a_6 = \frac{2a_3}{a_3 - 2} = \frac{2(a_3 - 2) + 4}{a_3 - 2} = 2 + \frac{4}{a_3 - 2} $$

$a_6$ は自然数であるから、$a_3 - 2$ は $4$ の正の約数である。よって、$a_3 - 2 = 1, 2, 4$ すなわち $a_3 = 3, 4, 6$ となる。

$a_3 = 4$ のとき $a_6 = 2 + \frac{4}{2} = 4$ となり、$a_3 < a_6$ に矛盾する。
$a_3 = 6$ のとき $6$ が $n$ の約数ならば $3$ も $n$ の約数となる。このとき約数は $1, 2, 3, \dots$ となるため、$a_3 = 3$ とならなければならず矛盾する。
$a_3 = 3$ のとき $a_6 = 2 + \frac{4}{1} = 6$ となる。このとき $a_2 = 2, a_3 = 3, a_6 = 6$ であり、大小関係 $a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6$ より、

$$ 3 < a_4 < a_5 < 6 $$

を満たす自然数 $a_4, a_5$ が存在する。$3$ と $6$ の間の自然数は $4, 5$ のみであるから、$a_4 = 4, a_5 = 5$ と確定する。したがって、$n$ の約数として少なくとも $3, 4, 5$ が含まれる。 $n$ は $3, 4, 5$ の公倍数であり、それらの最小公倍数は $60$ であるから、$n$ は $60$ の倍数である。

(ii) $a_2 \ge 3$ の場合

$a_2$ は最小の素因数であるから、奇素数である。したがって $n$ は奇数であり、$n$ の約数はすべて奇数となる。 $(*)$ を変形すると、

$$ a_6(a_3 - a_2) = a_2 a_3 $$

$$ a_2 a_3 - a_6 a_3 + a_2 a_6 = 0 $$

$$ (a_3 - a_2)(a_6 - a_2) = a_2^2 $$

$a_2 < a_3 < a_6$ より $0 < a_3 - a_2 < a_6 - a_2$ である。 $a_2$ は素数であるから、$a_2^2$ の正の約数は $1, a_2, a_2^2$ のみである。したがって、これを満たす組み合わせは、

$$ a_3 - a_2 = 1, \quad a_6 - a_2 = a_2^2 $$

のみである。 $a_3 - a_2 = 1$ より $a_3 = a_2 + 1$ となる。しかし、$a_2$ と $a_2+1$ は連続する整数であり、どちらか一方は必ず偶数となる。これは $n$ の約数 $a_k$ がすべて奇数であることに矛盾する。

以上（i）, （ii）より、条件(ロ) を満たすならば $n$ は $60$ の倍数であることが示された。したがって、(イ) と (ロ) は互いに同値である。

解説

「約数を小さい順に並べる」という設定は、整数問題において「小さい方の約数が何になるか」を調べる上で非常に強力な手がかりになります。特に $a_1=1$ は当然として、$a_2$ が「最小の素因数」となることは定石として覚えておきましょう。
与えられた分数式から文字を絞り込む際、整数問題の基本である「(一次式) $\times$ (一次式) = (整数)」の形を作るか、あるいは「分数式を定数項と分数部分に分ける（割り算を実行する）」手法が有効です。本解答では $a_2=2$ の場合に後者を、$a_2 \ge 3$ の場合に前者の手法を用いています。
$a_2=2, a_3=3, a_6=6$ まで求まった後、$a_4, a_5$ が間の数である $4, 5$ で確定するという論理の流れが、この問題の最も鮮やかなポイントです。