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名古屋大学 2024年理系第1問解説

方針・初手

(1) 与えられた関数を微分して導関数を求め、増減表を作成して極値を求めます。定義域 $x > 0$ に注意します。

(2) 曲線上の点における接線の方程式を立て、それが点 $P(t, 0)$ を通るという条件を処理します。接点の $x$ 座標についての2次方程式を導き、それが $x > 0$ の範囲に異なる2つの実数解をもつような $t$ の条件を求めます。

(3) (2) で導いた2次方程式に解と係数の関係を適用し、$t$ を消去して $\alpha, \beta$ の不定方程式を作ります。整数条件を利用して解の候補を絞り込み、最後にそれが (2) で求めた $t$ の条件を満たしているかを確認します。

解法1

(1)

与えられた関数は $f(x) = x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}$ である。

$x > 0$ においてこれを微分すると、

$$ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{x-2}{2x\sqrt{x}} $$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 2$ のときであるから、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

$x = 2$ のとき、

$$ f(2) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} $$

したがって、$f(x)$ は $x = 2$ で極小値 $2\sqrt{2}$ をとる。極大値はない。

(2)

曲線 $C$ 上の点を $(s, f(s))$ とおく。ただし $s > 0$ である。

この点における接線の方程式は、

$$ y - f(s) = f'(s)(x - s) $$

これが点 $P(t, 0)$ を通るから、

$$ 0 - f(s) = f'(s)(t - s) $$

ここに $f(s) = \frac{s+2}{\sqrt{s}}$ および $f'(s) = \frac{s-2}{2s\sqrt{s}}$ を代入して、

$$ -\frac{s+2}{\sqrt{s}} = \frac{s-2}{2s\sqrt{s}}(t - s) $$

$s > 0$ より両辺に $2s\sqrt{s}$ を掛けて整理する。

$$ \begin{aligned} -2s(s+2) &= (s-2)(t-s) \\ -2s^2 - 4s &= st - s^2 - 2t + 2s \\ s^2 + (t+6)s - 2t &= 0 \quad \cdots (*) \end{aligned} $$

曲線 $C$ は二重接線をもたないため、接線の本数は $s$ についての方程式 $(*)$ が $s > 0$ の範囲にもつ実数解の個数と一致する。

したがって、条件を満たすためには、2次方程式 $(*)$ が $s > 0$ の範囲に異なる2つの実数解をもてばよい。

$g(s) = s^2 + (t+6)s - 2t$ とおく。$y = g(s)$ のグラフが $s > 0$ の範囲で $s$ 軸と異なる2点で交わる条件は、以下の3つを同時に満たすことである。

(i) $g(s) = 0$ の判別式 $D > 0$

(ii) $y = g(s)$ の軸について $-\frac{t+6}{2} > 0$

(iii) $g(0) > 0$

それぞれを解く。

(i) について

$$ \begin{aligned} D &= (t+6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2t) \\ &= t^2 + 12t + 36 + 8t \\ &= t^2 + 20t + 36 \\ &= (t+2)(t+18) > 0 \end{aligned} $$

よって、$t < -18, \ -2 < t$

(ii) について

$$ -\frac{t+6}{2} > 0 \iff t < -6 $$

(iii) について

$$ g(0) = -2t > 0 \iff t < 0 $$

(i)、(ii)、(iii) の共通範囲を求めて、

$$ t < -18 $$

(3)

$\alpha, \beta$ は2次方程式 $(*)$ の異なる2つの実数解であるから、解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = -(t+6) \\ \alpha\beta = -2t \end{cases} $$

下の式より $t = -\frac{\alpha\beta}{2}$ であるから、これを上の式に代入して $t$ を消去する。

$$ \alpha + \beta = \frac{\alpha\beta}{2} - 6 $$

両辺を2倍して整理する。

$$ \begin{aligned} 2\alpha + 2\beta &= \alpha\beta - 12 \\ \alpha\beta - 2\alpha - 2\beta - 12 &= 0 \\ (\alpha - 2)(\beta - 2) - 4 - 12 &= 0 \\ (\alpha - 2)(\beta - 2) &= 16 \end{aligned} $$

$\alpha, \beta$ は $(*)$ の $s > 0$ における解であるから、正の整数である。

$\alpha < \beta$ であるため、$-1 \leqq \alpha - 2 < \beta - 2$ が成り立つ。

これを満たす整数 $\alpha - 2, \beta - 2$ の組は、

$$ (\alpha - 2, \beta - 2) = (1, 16), \ (2, 8) $$

よって、$(\alpha, \beta)$ の組の候補は以下のようになる。

$$ (\alpha, \beta) = (3, 18), \ (4, 10) $$

これらが (2) の条件である $t < -18$ を満たすか確認する。

$(\alpha, \beta) = (3, 18)$ のとき、$t = -\frac{3 \cdot 18}{2} = -27$ となり、$t < -18$ を満たす。

$(\alpha, \beta) = (4, 10)$ のとき、$t = -\frac{4 \cdot 10}{2} = -20$ となり、$t < -18$ を満たす。

したがって、どちらの組も適する。

解説

微積分と方程式の解の配置、そして整数問題の典型的な融合問題です。

(2) では接点から接線を引くという考え方の基本通り、接点を $(s, f(s))$ とおいて方程式を立てることが出発点です。その後は2次方程式の解の配置問題（正の異なる2解をもつ条件）に帰着されるため、判別式、軸の位置、端点の符号を丁寧に確認すれば解けます。

(3) は解と係数の関係を用いて対称式を処理し、$xy + ax + by + c = 0$ 型の不定方程式に持ち込むという定番の流れです。絞り込んだ $\alpha, \beta$ の値から逆算した $t$ が、必ず (2) の条件を満たしていることを最後に確認することが論理のうえで不可欠なポイントとなります。