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京都大学 2022年理系第2問解説

方針・初手

条件「$Y - X \geqq 2$ かつ $Z - Y \geqq 2$」は、選ばれた $3$ 枚の札の番号が「どの $2$ つも隣り合わない」ことを意味します。全事象は $n$ 枚から $3$ 枚を選ぶ組み合わせです。条件を満たす選び方を数えるために、選んだ数字の間隔を調整する変数変換を行うか、選ばれない札を並べてその隙間から選ぶという「隣り合わない組合せ」の典型的な考え方を用います。

解法1

$n$ 枚の札から $3$ 枚を同時に取り出すとき、その取り出し方の総数は

$$ {}_n\text{C}_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$

通りであり、これらは同様に確からしい。

取り出した札の番号を小さい順に $X, Y, Z$ とするので、$1 \leqq X < Y < Z \leqq n$ である。条件 $Y - X \geqq 2$ かつ $Z - Y \geqq 2$ を満たす組 $(X, Y, Z)$ の総数を求める。

ここで、新しい変数 $X', Y', Z'$ を次のように定める。

$X' = X$

$Y' = Y - 1$

$Z' = Z - 2$

このとき、$X, Y, Z$ に関する条件は次のように書き換えられる。

$Y - X \geqq 2 \iff (Y' + 1) - X' \geqq 2 \iff Y' - X' \geqq 1 \iff X' < Y'$

$Z - Y \geqq 2 \iff (Z' + 2) - (Y' + 1) \geqq 2 \iff Z' - Y' \geqq 1 \iff Y' < Z'$

また、取り得る値の範囲について、

$X \geqq 1$ より $X' \geqq 1$

$Z \leqq n$ より $Z' + 2 \leqq n$ すなわち $Z' \leqq n - 2$

したがって、元の条件を満たす $(X, Y, Z)$ の組を決めることは、

$$ 1 \leqq X' < Y' < Z' \leqq n - 2 $$

を満たす整数の組 $(X', Y', Z')$ を決めることと $1$ 対 $1$ に対応する。このような組 $(X', Y', Z')$ の総数は、$1$ から $n - 2$ までの $(n - 2)$ 個の整数から異なる $3$ 個を選ぶ組み合わせの数に等しい。問題の条件より $n \geqq 5$ であるから $n - 2 \geqq 3$ であり、この選び方の総数は

$$ {}_{n-2}\text{C}_3 = \frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6} $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{{}_{n-2}\text{C}_3}{{}_n\text{C}_3} = \frac{\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)} $$

となる。

解法2

$n$ 枚の札から $3$ 枚を選ぶ全事象の数は ${}_n\text{C}_3$ 通りである。

条件「$Y - X \geqq 2$ かつ $Z - Y \geqq 2$」は、選ばれた $3$ つの番号のうち、どの $2$ つも連続しない（隣り合わない）ことと同値である。この選び方の総数は、次のように考えることができる。

まず、選ばれない $(n - 3)$ 枚の札を「〇」として横一列に並べる。この「〇」は $(n - 3)$ 個ある。次に、これら $(n - 3)$ 個の「〇」の両端および間にある $(n - 2)$ 個の「隙間」に着目する。この $(n - 2)$ 個の隙間から $3$ 箇所を選び、選ばれる札を表す「｜」を入れる。入れられた $3$ つの「｜」と $(n - 3)$ 個の「〇」を左から順に見て、$1$ から $n$ までの番号を割り当てると、「｜」が割り当てられた番号が選ばれた札の番号 $X, Y, Z$ となる。このようにして選ばれた $3$ つの番号は、間に必ず「〇」が $1$ つ以上挟まるため、連続することがない。すなわち $Y - X \geqq 2$ かつ $Z - Y \geqq 2$ を満たす。また、条件を満たす任意の選び方は、この手順によって一意に表される。

$n \geqq 5$ より $n - 2 \geqq 3$ であり、$(n - 2)$ 個の隙間から $3$ 箇所を選ぶ方法は

$$ {}_{n-2}\text{C}_3 = \frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6} $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{{}_{n-2}\text{C}_3}{{}_n\text{C}_3} = \frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{n(n-1)(n-2)} = \frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)} $$

である。

解説

「互いに隣り合わないようにいくつかを選ぶ」という場合の数を求める有名問題です。解法1のように、$Y' = Y - 1, Z' = Z - 2$ と変数を変換して、不等式の条件を等号を含まない単調増加の形（$X' < Y' < Z'$）に帰着させる考え方は、数式を用いて厳密に論証する際に非常に強力です。一方、解法2の「選ばないものを並べておいて、その隙間から選ぶ」という考え方は、直感的かつ計算量が少ないため、試験本番で素早く答えを出すのに適しています。どちらの解法も標準的で重要なアプローチですので、両方ともマスターしておきましょう。 $n \geqq 5$ という条件は、${}_{n-2}\text{C}_3$ が定義できる（選ぶ対象となる隙間が $3$ つ以上ある）ことを保証するためのものです。