京都大学 2022年 理系 第1問 解説

方針・初手

求める不等式 $5.4 < \log_4 2022 < 5.5$ を証明するために、各辺を真数での比較に持ち込むか、底の変換公式を用いて常用対数 $\log_{10}$ に揃えて評価します。 特に右側の値 $5.5 = \frac{11}{2}$ は、$4^{\frac{11}{2}} = 2^{11} = 2048$ となることに着目すると、真数 $2022$ との比較が容易になります。左側の値の評価には、与えられた $\log_{10} 2$ の近似値と、$2022 > 2000$ という下からの評価を利用します。

解法1

右側の不等式 $\log_4 2022 < 5.5$ について示す。 $5.5 = \frac{11}{2}$ より、

$$ 4^{5.5} = (2^2)^{\frac{11}{2}} = 2^{11} = 2048 $$

である。$2022 < 2048$ であり、底 $4$ は $1$ より大きいので、両辺を底 $4$ の対数にとると、

$$ \log_4 2022 < \log_4 2048 $$

$$ \log_4 2022 < \log_4 4^{5.5} $$

$$ \log_4 2022 < 5.5 $$

となり、右側の不等式が成り立つ。$\cdots$ ①

次に、左側の不等式 $5.4 < \log_4 2022$ について示す。 $5.4 = \frac{27}{5}$ より、

$$ 4^{5.4} = (2^2)^{\frac{27}{5}} = 2^{\frac{54}{5}} = 2^{10.8} $$

ここで、$2^{10.8}$ と $2022$ の大小を比較するために常用対数をとる。 $2022 > 2000$ であり、底 $10$ は $1$ より大きいことから、

$$ \log_{10} 2022 > \log_{10} 2000 = \log_{10} (2 \times 10^3) = \log_{10} 2 + 3 $$

条件 $0.301 < \log_{10} 2$ より、

$$ \log_{10} 2022 > 0.301 + 3 = 3.301 $$

一方、$2^{10.8}$ の常用対数は、

$$ \log_{10} 2^{10.8} = 10.8 \log_{10} 2 $$

条件 $\log_{10} 2 < 0.3011$ より、

$$ 10.8 \log_{10} 2 < 10.8 \times 0.3011 = 3.25188 $$

したがって、

$$ \log_{10} 2^{10.8} < 3.25188 < 3.301 < \log_{10} 2022 $$

ゆえに、$\log_{10} 2^{10.8} < \log_{10} 2022$ となる。 底 $10$ は $1$ より大きいから、真数を比較して

$$ 2^{10.8} < 2022 $$

すなわち $4^{5.4} < 2022$ が成り立つ。 底 $4$ は $1$ より大きいので、両辺を底 $4$ の対数にとると、

$$ \log_4 4^{5.4} < \log_4 2022 $$

$$ 5.4 < \log_4 2022 $$

となり、左側の不等式が成り立つ。$\cdots$ ②

①, ② より、

$$ 5.4 < \log_4 2022 < 5.5 $$

が示された。

解法2

底の変換公式を用いて、最初からすべて常用対数に変換して証明する。

$$ \log_4 2022 = \frac{\log_{10} 2022}{\log_{10} 4} = \frac{\log_{10} 2022}{2 \log_{10} 2} $$

であるから、示すべき不等式は

$$ 5.4 < \frac{\log_{10} 2022}{2 \log_{10} 2} < 5.5 $$

$\log_{10} 2 > 0$ より、各辺に $2 \log_{10} 2$ を掛けて、

$$ 10.8 \log_{10} 2 < \log_{10} 2022 < 11 \log_{10} 2 $$

となる。これを証明する。

右側の不等式について、

$$ 11 \log_{10} 2 = \log_{10} 2^{11} = \log_{10} 2048 $$

底 $10$ は $1$ より大きく、$2022 < 2048$ であるから、

$$ \log_{10} 2022 < \log_{10} 2048 = 11 \log_{10} 2 $$

が成り立つ。$\cdots$ ③

左側の不等式について、条件 $\log_{10} 2 < 0.3011$ より、

$$ 10.8 \log_{10} 2 < 10.8 \times 0.3011 = 3.25188 $$

また、$2022 > 2000$ であり、条件 $0.301 < \log_{10} 2$ を用いると、

$$ \log_{10} 2022 > \log_{10} 2000 = \log_{10} 2 + 3 > 0.301 + 3 = 3.301 $$

したがって、

$$ 10.8 \log_{10} 2 < 3.25188 < 3.301 < \log_{10} 2022 $$

となり、

$$ 10.8 \log_{10} 2 < \log_{10} 2022 $$

が成り立つ。$\cdots$ ④

③, ④より、

$$ 10.8 \log_{10} 2 < \log_{10} 2022 < 11 \log_{10} 2 $$

が成立し、各辺を $2 \log_{10} 2$ で割ることで $5.4 < \log_4 2022 < 5.5$ が示された。

解説

対数の値の評価に関する標準的な問題です。 西暦年である $2022$ を扱った問題では、$2048 = 2^{11}$ との比較が非常に頻出します。右側の $5.5$ はこれに気付けばすぐに証明可能です。 左側の $5.4$ はそのままでは真数との直接比較が難しいため、与えられている $\log_{10} 2$ の近似値を活用できる形に式変形（常用対数への変換）を行います。その際、$2022$ の常用対数の値を正確に求めるのではなく、キリの良い $2000$ を用いて $2022 > 2000$ と下から評価する（不等式で挟み込む）工夫がポイントとなります。

答え

与えられた不等式は示された。