トップ› 九州大学› 1962年› 文系第2問

九州大学 1962年文系第2問解説

方針・初手

与えられた等式は連立方程式であり、文字が3つに対して式が実質2つであるため、$x, y, z$ の値を一意に定めることはできないが、比を求めることはできる。このような比例式の扱いとしては、式の値を $=k$ とおき、すべての変数を1つの文字 $k$ で表すのが定石である。

これを不等式に代入することで、$k$ についての2次不等式に帰着させる。「すべての実数値 $x, y, z$ に対して」という条件は、「すべての実数 $k$ に対して」という条件に読み替えることができるため、最終的に2次不等式が常に成り立つ条件（判別式）を考えればよい。

解法1

与えられた条件式において、

$$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{3} = \frac{z+x}{7} = k$$

とおく。ただし、$k$ は実数である。これにより、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} x+y = 2k & \cdots \text{①} \\ y+z = 3k & \cdots \text{②} \\ z+x = 7k & \cdots \text{③} \end{cases}$$

①, ②, ③の辺々を加えると、

$$2(x+y+z) = 12k$$

よって、

$$x+y+z = 6k \quad \cdots \text{④}$$

となる。④から②、③、①をそれぞれ引くことで、$x, y, z$ を $k$ で表すことができる。

$$\begin{aligned} x &= (x+y+z) - (y+z) = 6k - 3k = 3k \\ y &= (x+y+z) - (z+x) = 6k - 7k = -k \\ z &= (x+y+z) - (x+y) = 6k - 2k = 4k \end{aligned}$$

条件を満たすすべての実数 $x, y, z$ の組は、任意の実数 $k$ を用いて $(x, y, z) = (3k, -k, 4k)$ と表される。

次に、与えられた不等式

$$x^2 + y^2 + z^2 + a(x+y+z) > -1$$

に代入する。

$$(3k)^2 + (-k)^2 + (4k)^2 + a(6k) > -1$$

整理すると、

$$9k^2 + k^2 + 16k^2 + 6ak + 1 > 0$$

$$26k^2 + 6ak + 1 > 0$$

となる。問題の条件より、この不等式が「すべての実数 $k$ に対して」成り立てばよい。

$k$ についての2次関数 $f(k) = 26k^2 + 6ak + 1$ のグラフは下に凸な放物線である。すべての実数 $k$ に対して $f(k) > 0$ となるための条件は、放物線が $k$ 軸と共有点をもたないことである。

したがって、2次方程式 $26k^2 + 6ak + 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D < 0$ であればよい。

$$\frac{D}{4} = (3a)^2 - 26 \cdot 1 = 9a^2 - 26$$

$$9a^2 - 26 < 0$$

$$a^2 < \frac{26}{9}$$

これを解いて、$a$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$-\frac{\sqrt{26}}{3} < a < \frac{\sqrt{26}}{3}$$

解説

比例式 $\frac{A}{p} = \frac{B}{q} = \frac{C}{r}$ を見た際の基本方針は、値を $k$ とおいて各文字を $k$ で表すことである。今回は分母が定数であるため、そのまま文字の消去につなげやすい。

文字を $k$ だけに絞った後は、「すべての実数 $x, y, z$ に対して」という条件が、「すべての実数 $k$ に対して」という条件にすり替わる論理の構造を理解しておくことが重要である。絶対不等式（常に成り立つ不等式）の処理は、2次関数のグラフと $x$ 軸（今回は $k$ 軸）の上下関係をイメージし、判別式の符号を正しく判定できるようにしておきたい。