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九州大学 1972年文系第1問解説

方針・初手

(1) は複素数の成分成分ごとの足し算を行い、定義通りに絶対値を計算する。計算量がやや増えるが、根気よく展開して整理する。

(2) は $z_1, z_2$ を極形式に直し、図形的な意味を考えるか、あるいは三角関数の和積の公式を用いて $z_1+z_2$ を一つの極形式に変形する。絶対値 $|z_1+z_2|$ を2通りの方法（(1)の直接計算と、(2)の極形式からの計算）で表し、それらを等値することで $\cos \frac{\pi}{24}$ の値を導き出す。

解法1

(1)

与えられた複素数を有理化などをして成分に分けると、以下のようになる。

$$z_1 = \frac{1+i}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

$$z_2 = \frac{\sqrt{3}+i}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$

これらを足し合わせる。

$$\begin{aligned} z_1 + z_2 &= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \right)i \\ &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}+1}{2}i \end{aligned}$$

絶対値の2乗を計算する。

$$\begin{aligned} |z_1 + z_2|^2 &= \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{2}+1}{2} \right)^2 \\ &= \frac{2 + 2\sqrt{6} + 3}{4} + \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{4} \\ &= \frac{5 + 2\sqrt{6}}{4} + \frac{3 + 2\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{8 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$

絶対値は正であるから、平方根をとる。

$$|z_1 + z_2| = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{8 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}}{2}$$

(2)

$z_1, z_2$ の絶対値はともに $1$ であるため、極形式で次のように表せる。

$$z_1 = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$$

$$z_2 = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$$

複素数平面上において、原点を $\text{O}$、$z_1, z_2, z_1+z_2$ を表す点をそれぞれ $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ とすると、四角形 $\text{OACB}$ は $\text{OA} = \text{OB} = 1$ のひし形となる。ひし形の対角線 $\text{OC}$ は角 $\text{AOB}$ を二等分するため、$z_1+z_2$ の偏角 $\theta$ は $z_1$ の偏角と $z_2$ の偏角の平均値となる。

$$\theta = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} \right) = \frac{5\pi}{24}$$

また、ひし形の対角線 $\text{OC}$ の長さ、すなわち $|z_1+z_2|$ は、三角形 $\text{OAC}$ に着目すると以下のようになる。

$$|z_1+z_2| = 2 \times 1 \times \cos\left( \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{24} \right) = 2\cos\frac{\pi}{24}$$

(1) の結果と等値すると、次の方程式が得られる。

$$2\cos\frac{\pi}{24} = \frac{\sqrt{8 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}}{2}$$

これを解いて $\cos\frac{\pi}{24}$ を求める。

$$\cos\frac{\pi}{24} = \frac{\sqrt{8 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}}{4}$$

解法2

(2) の別解（和積の公式を利用）

$z_1, z_2$ の極形式の和を、三角関数の和積の公式を用いて変形する。

$$\begin{aligned} z_1 + z_2 &= \left( \cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{6} \right) + i \left( \sin\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{6} \right) \\ &= 2 \cos\frac{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}}{2} + i \left( 2 \sin\frac{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}}{2} \right) \\ &= 2 \cos\frac{5\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} + i \left( 2 \sin\frac{5\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} \right) \\ &= 2\cos\frac{\pi}{24} \left( \cos\frac{5\pi}{24} + i \sin\frac{5\pi}{24} \right) \end{aligned}$$

ここで、$0 < \frac{\pi}{24} < \frac{\pi}{2}$ であるため、$2\cos\frac{\pi}{24} > 0$ である。したがって、これが $z_1+z_2$ の極形式そのものを表している。極形式の定義より、偏角 $\theta$ は $\frac{5\pi}{24}$ であり、絶対値は $2\cos\frac{\pi}{24}$ である。

(1) の結果より $|z_1 + z_2| = \frac{\sqrt{8 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}}{2}$ であるから、以下が成り立つ。

$$2\cos\frac{\pi}{24} = \frac{\sqrt{8 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}}{2}$$

よって、

$$\cos\frac{\pi}{24} = \frac{\sqrt{8 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}}{4}$$

解説

複素数平面における足し算を図形的に捉える代表的な問題である。絶対値が等しい2つの複素数 $z_1, z_2$ の和 $z_1+z_2$ は、原点を1つの頂点とするひし形の対角線を形成する。この幾何学的な性質に気づけると、偏角が2つの偏角の平均になることや、絶対値が図形から即座に求まることが見えやすい。

解法2で用いた和積の公式によるアプローチも極めて強力である。$\cos A + \cos B$ や $\sin A + \sin B$ の形が現れたら、すぐに積の形に直して共通因数を括り出す手法は、極形式の和を1つの極形式にまとめる際の定石である。どちらの解法もスムーズに実行できるようにしておきたい。