大阪大学 1972年 理系 第3問 解説

方針・初手

2次方程式の判別式の符号によって、解が実数になるか虚数になるかが変わるため、場合分けを行う必要がある。 複素数平面上の2点 $P, Q$ を表す複素数をそれぞれ $\alpha, \beta$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の内積は、実数平面上の成分を用いて考えることで $\frac{1}{2}(\alpha \bar{\beta} + \bar{\alpha} \beta)$ と表せる。 実数解の場合は $\alpha, \beta$ が実軸上に乗るため単なる積となり、虚数解の場合は互いに共役な複素数となることを利用して解と係数の関係から内積を計算する。 (2)では、3点 $O, P, Q$ が3角形をなす条件（一直線上にない条件）を満たす $\theta$ の範囲をまず確認し、その上で直角3角形となるための辺や角の条件を立式する。

解法1

(1)

2次方程式 $x^2 - 4x \sin\theta + 2\tan\theta = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = 4\sin^2\theta - 2\tan\theta $$

これを変形すると、

$$ \frac{D}{4} = 2\tan\theta (2\sin\theta\cos\theta - 1) = 2\tan\theta (\sin 2\theta - 1) $$

となる。

方程式の2解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = 4\sin\theta $$

$$ \alpha\beta = 2\tan\theta $$

が成り立つ。

複素数 $\alpha, \beta$ の実部と虚部をそれぞれ $\alpha = a+bi, \beta = c+di$ （$a, b, c, d$ は実数）とおくと、点 $P, Q$ の座標は $P(a, b), Q(c, d)$ である。 ベクトル $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の内積は $ac + bd$ である。 一方で、

$$ \frac{1}{2} (\alpha \bar{\beta} + \bar{\alpha} \beta) = \frac{1}{2} \{ (a+bi)(c-di) + (a-bi)(c+di) \} = ac + bd $$

となるため、内積は $\frac{1}{2} (\alpha \bar{\beta} + \bar{\alpha} \beta)$ と表せる。

ここで、$D$ の符号によって場合分けを行う。 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ において、常に $\sin 2\theta \leqq 1$ であるから $\sin 2\theta - 1 \leqq 0$ となる。

(i)

$D \geqq 0$ のとき

条件は $\tan\theta \leqq 0$ または $\sin 2\theta = 1$ であるから、

$$ -\frac{\pi}{2} < \theta \leqq 0, \quad \theta = \frac{\pi}{4} $$

である。 このとき、2解 $\alpha, \beta$ は実数となるため、$\bar{\alpha} = \alpha, \bar{\beta} = \beta$ が成り立つ。 したがって、内積は

$$ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2} (\alpha \beta + \alpha \beta) = \alpha \beta = 2\tan\theta $$

となる。

(ii)

$D < 0$ のとき

条件は $\tan\theta > 0$ かつ $\sin 2\theta \neq 1$ であるから、

$$ 0 < \theta < \frac{\pi}{4}, \quad \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2} $$

である。 このとき、2解は互いに共役な虚数となるため、$\beta = \bar{\alpha}$ が成り立つ。 したがって、内積は解と係数の関係を用いて次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} &= \frac{1}{2} (\alpha^2 + \bar{\alpha}^2) \\ &= \frac{1}{2} \{ (\alpha + \bar{\alpha})^2 - 2\alpha \bar{\alpha} \} \\ &= \frac{1}{2} \{ (4\sin\theta)^2 - 2(2\tan\theta) \} \\ &= 8\sin^2\theta - 2\tan\theta \end{aligned} $$

(2)

3点 $O, P, Q$ が3角形をなすためには、これらが同一直線上にないことが必要である。 $D \geqq 0$ のとき、点 $P, Q$ は実軸上に存在するため、原点 $O$ も含めて一直線上に並んでしまい、3角形を作らない。 したがって、$D < 0$ であることが必要であり、(1)の （ii） より $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ かつ $\theta \neq \frac{\pi}{4}$ が前提となる。

このとき、点 $P$ と $Q$ は実軸に関して対称な位置にあるため、$OP = OQ$ の二等辺3角形となる。 直角3角形となるためには、底角 $\angle OPQ$ が直角になることはあり得ないため、頂角 $\angle POQ$ が直角、すなわち $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0$ となる必要がある。

(1)の （ii） の結果より、

$$ 8\sin^2\theta - 2\tan\theta = 0 $$

両辺を $2$ で割り、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を代入すると、

$$ 4\sin^2\theta - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 0 $$

$$ \sin\theta \left( 4\sin\theta - \frac{1}{\cos\theta} \right) = 0 $$

となる。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin\theta > 0$ であるから、

$$ 4\sin\theta - \frac{1}{\cos\theta} = 0 $$

$$ 4\sin\theta\cos\theta = 1 $$

倍角の公式を用いて変形すると、

$$ 2\sin 2\theta = 1 $$

$$ \sin 2\theta = \frac{1}{2} $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < 2\theta < \pi$ であるから、

$$ 2\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} $$

$$ \theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} $$

これらは前提条件 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ かつ $\theta \neq \frac{\pi}{4}$ を満たしている。

解説

複素数平面における2点のベクトル内積を複素数で表現する典型的な処理が求められる。 実部と虚部に分けて成分表示から $\frac{1}{2}(\alpha \bar{\beta} + \bar{\alpha} \beta)$ を導く操作は、一度経験しておけば様々な場面で応用が効く。 また、本問のように係数に三角関数が含まれる2次方程式では、判別式による実数解・虚数解の場合分けが $\theta$ の値域によって複雑になりやすい。 (2)では「3角形になる」という条件を見落とさないことが重要である。実数解の場合は3点が実軸上で一直線上に並んでしまうため、図形をなさないことに気づけるかどうかがポイントとなる。

答え

(1)

$-\frac{\pi}{2} < \theta \leqq 0, \theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$2\tan\theta$ $0 < \theta < \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$8\sin^2\theta - 2\tan\theta$

(2)

$$ \theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} $$