九州大学 1970年 文系 第4問 解説

方針・初手

複素数平面における正多角形の問題では、「図形の中心」を原点に見立てて（あるいは平行移動して）回転を考えるのが定石である。 本問の正六角形において、$z_1$ と $z_4$ は最も遠い頂点同士（対角線の両端）であるから、線分 $z_1z_4$ の中点が正六角形の中心に一致する。 この中心を基準に、各頂点が反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ ずつ回転した位置にあることを用いて立式する。 また、図形の性質から、頂点を中心とした回転を利用することもできるため、別解として示す。

解法1

正六角形の中心を $c$ とおく。 対角線 $z_1z_4$ は中心 $c$ で二等分されるため、$c$ は $z_1$ と $z_4$ の中点であり、

$$c = \frac{z_1 + z_4}{2}$$

と表される。 正六角形の各頂点は、中心 $c$ の周りに $\frac{\pi}{3}$ ずつ反時計回りに回転した位置にある。

点 $z_2$ は、点 $z_1$ を中心 $c$ の周りに $\frac{\pi}{3}$ 回転した点であるから、

$$z_2 - c = \left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)(z_1 - c) = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}(z_1 - c)$$

が成り立つ。ここに $c = \frac{z_1+z_4}{2}$ を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} z_2 &= c + \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \left( z_1 - \frac{z_1+z_4}{2} \right) \\ &= \frac{z_1+z_4}{2} + \frac{1+\sqrt{3}i}{4} (z_1 - z_4) \\ &= \left( \frac{1}{2} + \frac{1+\sqrt{3}i}{4} \right)z_1 + \left( \frac{1}{2} - \frac{1+\sqrt{3}i}{4} \right)z_4 \\ &= \frac{3+\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{1-\sqrt{3}i}{4}z_4 \end{aligned}$$

となる。

点 $z_3$ は、点 $z_1$ を中心 $c$ の周りに $\frac{2\pi}{3}$ 回転した点であるから、

$$z_3 - c = \left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)(z_1 - c) = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}(z_1 - c)$$

が成り立つ。同様に代入して整理すると、

$$\begin{aligned} z_3 &= c + \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \left( z_1 - \frac{z_1+z_4}{2} \right) \\ &= \frac{z_1+z_4}{2} + \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} (z_1 - z_4) \\ &= \left( \frac{1}{2} + \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} \right)z_1 + \left( \frac{1}{2} - \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} \right)z_4 \\ &= \frac{1+\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_4 \end{aligned}$$

となる。

残りの $z_5, z_6$ については、中心 $c$ に関する対称性を利用する。 $z_2$ と $z_5$、$z_3$ と $z_6$ はそれぞれ中心 $c$ に関して対称であるから、

$$\frac{z_2 + z_5}{2} = c = \frac{z_1 + z_4}{2}, \quad \frac{z_3 + z_6}{2} = c = \frac{z_1 + z_4}{2}$$

が成り立つ。これより、

$$\begin{aligned} z_5 &= z_1 + z_4 - z_2 \\ &= z_1 + z_4 - \left( \frac{3+\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{1-\sqrt{3}i}{4}z_4 \right) \\ &= \frac{1-\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{3+\sqrt{3}i}{4}z_4 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} z_6 &= z_1 + z_4 - z_3 \\ &= z_1 + z_4 - \left( \frac{1+\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_4 \right) \\ &= \frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{1+\sqrt{3}i}{4}z_4 \end{aligned}$$

と求まる。

解法2

正六角形の性質を利用し、頂点を中心とした「回転と拡大・縮小」を考える。 $\triangle z_1z_2z_4$ において、線分 $z_1z_4$ は外接円の直径となるため $\angle z_1z_2z_4 = \frac{\pi}{2}$ である。また $\angle z_2z_1z_4 = \frac{\pi}{3}$ であり、辺の長さの比は $z_1z_4 : z_1z_2 = 2 : 1$ となる。

図より、ベクトル $\overrightarrow{z_1z_2}$ はベクトル $\overrightarrow{z_1z_4}$ を時計回りに $\frac{\pi}{3}$ 回転し、大きさを $\frac{1}{2}$ にしたものであるから、

$$\begin{aligned} z_2 - z_1 &= \frac{1}{2} \left\{ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right\} (z_4 - z_1) \\ &= \frac{1-\sqrt{3}i}{4} (z_4 - z_1) \end{aligned}$$

と表せる。これを整理して、

$$z_2 = z_1 + \frac{1-\sqrt{3}i}{4}(z_4 - z_1) = \frac{3+\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{1-\sqrt{3}i}{4}z_4$$

を得る。

同様に $\triangle z_1z_6z_4$ において、$\overrightarrow{z_1z_6}$ は $\overrightarrow{z_1z_4}$ を反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ 回転し、大きさを $\frac{1}{2}$ にしたものであるから、

$$\begin{aligned} z_6 - z_1 &= \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) (z_4 - z_1) \\ &= \frac{1+\sqrt{3}i}{4} (z_4 - z_1) \end{aligned}$$

これを整理して、

$$z_6 = z_1 + \frac{1+\sqrt{3}i}{4}(z_4 - z_1) = \frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{1+\sqrt{3}i}{4}z_4$$

を得る。

次に点 $z_4$ を基準とする。$\triangle z_4z_3z_1$ において、$\overrightarrow{z_4z_3}$ は $\overrightarrow{z_4z_1}$ を反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ 回転し、大きさを $\frac{1}{2}$ にしたものであるから、

$$\begin{aligned} z_3 - z_4 &= \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) (z_1 - z_4) \\ &= \frac{1+\sqrt{3}i}{4} (z_1 - z_4) \end{aligned}$$

これを整理して、

$$z_3 = z_4 + \frac{1+\sqrt{3}i}{4}(z_1 - z_4) = \frac{1+\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_4$$

を得る。

最後に $\triangle z_4z_5z_1$ において、$\overrightarrow{z_4z_5}$ は $\overrightarrow{z_4z_1}$ を時計回りに $\frac{\pi}{3}$ 回転し、大きさを $\frac{1}{2}$ にしたものであるから、

$$\begin{aligned} z_5 - z_4 &= \frac{1}{2} \left\{ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right\} (z_1 - z_4) \\ &= \frac{1-\sqrt{3}i}{4} (z_1 - z_4) \end{aligned}$$

これを整理して、

$$z_5 = z_4 + \frac{1-\sqrt{3}i}{4}(z_1 - z_4) = \frac{1-\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{3+\sqrt{3}i}{4}z_4$$

を得る。

解説

複素数平面上の図形問題を「回転と拡大・縮小」という基本操作に帰着させる典型問題である。 解法1のように図形の中心を基準点として設定するアプローチは、対称性を利用しやすく計算ミスを防ぎやすいため、正多角形の問題において最も推奨される。 解法2のように特定の頂点を基準とする場合は、ベクトルの向き（回転角の正負）を取り違えやすい点に注意が必要である。図を正しく把握し、始点と終点の関係を正確に読み取ることが求められる。

答え

$$\begin{aligned} z_2 &= \frac{3+\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{1-\sqrt{3}i}{4}z_4 \\ z_3 &= \frac{1+\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_4 \\ z_5 &= \frac{1-\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{3+\sqrt{3}i}{4}z_4 \\ z_6 &= \frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_1 + \frac{1+\sqrt{3}i}{4}z_4 \end{aligned}$$