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九州大学 1983年文系第4問解説

方針・初手

行列の累乗 $A^k$ の一般項を求めることがすべての出発点となる。成分の規則性を推測して数学的帰納法で証明するか、$A$ を単位行列 $I$ と冪零行列（何乗かすると零行列になる行列）の和に分解して二項定理を用いる手法が有効である。

$A^k$ が求まれば、$S_n$ および $T_n$ の各成分は和の記号 $\Sigma$ を用いた自然数の累乗の和の計算に帰着する。(2) では、求めた $S_n$ が逆行列をもつことを確認したうえで、$X = S_n^{-1} T_n$ を計算して行列 $X$ を決定する。

解法1

(1)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ について、$A^2, A^3$ を計算すると以下のようになる。

$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

これより、すべての自然数 $k$ について $A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と推測できる。これを数学的帰納法で示す。

(i) $k=1$ のとき、明らかに成り立つ。

(ii) $k=m$ のとき、$A^m = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ が成り立つと仮定する。

このとき、$k=m+1$ について考えると、

$$A^{m+1} = A^m A = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & m+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

となり、$k=m+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $k$ について $A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

次に $S_n$ を求める。

$$S_n = A + A^2 + \cdots + A^n = \sum_{k=1}^n A^k = \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n 1 & \sum_{k=1}^n k \\ 0 & \sum_{k=1}^n 1 \end{pmatrix}$$

公式 $\sum_{k=1}^n 1 = n$ および $\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$ を用いて、

$$S_n = \begin{pmatrix} n & \frac{1}{2}n(n+1) \\ 0 & n \end{pmatrix}$$

さらに $T_n$ を求める。

$$T_n = S_1 + S_2 + \cdots + S_n = \sum_{m=1}^n S_m = \sum_{m=1}^n \begin{pmatrix} m & \frac{1}{2}m(m+1) \\ 0 & m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{m=1}^n m & \frac{1}{2} \sum_{m=1}^n m(m+1) \\ 0 & \sum_{m=1}^n m \end{pmatrix}$$

ここで、$(1,2)$ 成分の和を計算する。

$$\sum_{m=1}^n m(m+1) = \sum_{m=1}^n (m^2+m) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1)$$

$$= \frac{1}{6}n(n+1) \{ (2n+1) + 3 \} = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$$

したがって、$(1,2)$ 成分はこれに $\frac{1}{2}$ をかけて $\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$ となる。

よって、$T_n$ は以下のようになる。

$$T_n = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}n(n+1) & \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \\ 0 & \frac{1}{2}n(n+1) \end{pmatrix}$$

(2)

(1) の結果より、$S_n = \begin{pmatrix} n & \frac{1}{2}n(n+1) \\ 0 & n \end{pmatrix}$ である。

$n$ は自然数（$n \ge 1$）であるから、$S_n$ の行列式は $\Delta = n^2 \neq 0$ となり、$S_n$ は逆行列をもつ。

$$S_n^{-1} = \frac{1}{n^2} \begin{pmatrix} n & -\frac{1}{2}n(n+1) \\ 0 & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{n} & -\frac{n+1}{2n} \\ 0 & \frac{1}{n} \end{pmatrix}$$

等式 $S_n X = T_n$ の両辺に左から $S_n^{-1}$ をかけると、$X = S_n^{-1} T_n$ となる。

$$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{n} & -\frac{n+1}{2n} \\ 0 & \frac{1}{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2}n(n+1) & \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \\ 0 & \frac{1}{2}n(n+1) \end{pmatrix}$$

この行列の積の各成分を計算する。

$(1,1)$ 成分：

$$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{n+1}{2}$$

$(1,2)$ 成分：

$$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) + \left( -\frac{n+1}{2n} \right) \cdot \frac{1}{2}n(n+1)$$

$$= \frac{1}{6}(n+1)(n+2) - \frac{1}{4}(n+1)^2$$

$$= \frac{n+1}{12} \{ 2(n+2) - 3(n+1) \}$$

$$= \frac{n+1}{12} ( -n+1 ) = \frac{1-n^2}{12}$$

$(2,1)$ 成分：

$$0 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + \frac{1}{n} \cdot 0 = 0$$

$(2,2)$ 成分：

$$0 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) + \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{n+1}{2}$$

以上より、求める行列 $X$ は以下の通りである。

$$X = \begin{pmatrix} \frac{n+1}{2} & \frac{1-n^2}{12} \\ 0 & \frac{n+1}{2} \end{pmatrix}$$

解説

行列の累乗 $A^k$ を求める基本問題と、和の記号 $\Sigma$ の計算、そして逆行列を用いた行列の方程式の解法を組み合わせた典型的な問題である。

$A^k$ を求める際、解法では推測して数学的帰納法を用いる方法をとったが、行列 $A$ を単位行列 $I$ とそれ以外の部分に分解して二項定理を用いる方法も非常に有効である。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = I + N$$

とおくと、$N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$（零行列）となる。$I$ と $N$ は可換（$IN = NI$）であるため、実数の展開と同様に二項定理が適用できる。

$$A^k = (I + N)^k = I^k + k I^{k-1} N + \frac{k(k-1)}{2} I^{k-2} N^2 + \cdots$$

ここで $N^2$ 以降の項はすべて零行列になるため、

$$A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & k \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

と簡潔に求めることができる。この「単位行列＋冪零行列」への分解は、行列の累乗計算において強力な武器となるため習得しておきたい。

また、$\sum m(m+1)$ の計算では、展開して $\sum m^2 + \sum m$ としてもよいが、連続する整数の積の和の公式 $\sum_{m=1}^n m(m+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ を記憶していれば、より速く正確に計算を進めることができる。