九州大学 1983年 文系 第3問 解説

方針・初手

点 $A, B, C$ の座標からベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を成分で表し、$AB = AC$ かつ $AB \perp AC$ という図形的な条件を立式する。 直角二等辺三角形の条件は、ベクトルの内積と大きさ（長さの2乗）の2式で処理してもよいが、ベクトルを $90^\circ$ 回転させる条件として処理すると計算量を大幅に減らすことができる。 面積については、直線と放物線の上下関係を正しく把握し、三角形の面積と放物線の弓形の面積（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式の形）の差として捉えるのが見通しの良い方針である。

解法1

(1)

点 $A(0, a)$, $B(b, b^2)$, $C(c, c^2)$ について、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を成分表示すると以下のようになる。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (b, b^2 - a) \\ \overrightarrow{AC} &= (c, c^2 - a) \end{aligned}$$

条件より $\triangle ABC$ は $\angle A = 90^\circ$ の直角二等辺三角形である。すなわち、点 $C$ は点 $B$ を点 $A$ を中心として $\pm 90^\circ$ 回転させた点である。 $\overrightarrow{AB} = (x, y)$ を $\pm 90^\circ$ 回転させたベクトルは $(-y, x)$ または $(y, -x)$ と表せるため、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $\overrightarrow{AC} = (-(b^2 - a), b)$ のとき

成分を比較して次の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} c = a - b^2 \\ c^2 - a = b \end{cases}$$

第1式より $a = b^2 + c$。これを第2式に代入すると、

$$\begin{aligned} c^2 - (b^2 + c) &= b \\ c^2 - b^2 - c - b &= 0 \\ (c - b)(c + b) - (c + b) &= 0 \\ (c + b)(c - b - 1) &= 0 \end{aligned}$$

条件 $0 \leqq b < c$ より $c + b > 0$ であるため、$c - b - 1 = 0$ すなわち $c = b + 1$ が導かれる。 これを $c = a - b^2$ に代入すると、

$$b + 1 = a - b^2 \iff b^2 + b + 1 - a = 0$$

$b$ について解の公式を用いると、

$$b = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1 - a)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$$

$a \geqq 1$ より $\sqrt{4a - 3} \geqq 1$ であるから、条件 $b \geqq 0$ を満たすのは $b = \frac{\sqrt{4a - 3} - 1}{2}$ のみである。 このとき $c = b + 1 = \frac{\sqrt{4a - 3} + 1}{2}$ となり、$b < c$ も満たす。 また、$B$ と $C$ の $y$ 座標は、$b^2 = a - c$ と $c^2 = a + b$ の関係を用いて次のように求まる。

$$\begin{aligned} b^2 &= a - \frac{\sqrt{4a - 3} + 1}{2} = \frac{2a - 1 - \sqrt{4a - 3}}{2} \\ c^2 &= a + \frac{\sqrt{4a - 3} - 1}{2} = \frac{2a - 1 + \sqrt{4a - 3}}{2} \end{aligned}$$

(ii) $\overrightarrow{AC} = (b^2 - a, -b)$ のとき

成分を比較して次の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} c = b^2 - a \\ c^2 - a = -b \end{cases}$$

第1式より $a = b^2 - c$。これを第2式に代入すると、

$$\begin{aligned} c^2 - (b^2 - c) &= -b \\ c^2 - b^2 + c + b &= 0 \\ (c - b)(c + b) + (c + b) &= 0 \\ (c + b)(c - b + 1) &= 0 \end{aligned}$$

$c + b > 0$ より $c - b + 1 = 0$ すなわち $c - b = -1$ となるが、これは条件 $b < c$ に矛盾する。よってこの場合は不適である。

以上より、$B$ と $C$ の座標が確定する。

(2)

点 $A, B, C$ の $x$ 座標の大小関係は $0 \leqq b < c$ であり、放物線 $y = x^2$ は下に凸であるため、線分 $BC$ はつねに曲線上の弧 $BC$ の上側にある。 したがって、2つの線分 $AB, AC$ および曲線①の弧 $BC$ によって囲まれる図形の面積 $S$ は、$\triangle ABC$ の面積 $S_1$ から、線分 $BC$ と曲線①の弧 $BC$ によって囲まれる弓形の面積 $S_2$ を引いた値に等しい。

$\triangle ABC$ は $\angle A = 90^\circ$ の直角二等辺三角形であるから、

$$S_1 = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|^2 = \frac{1}{2} \left\{ b^2 + (b^2 - a)^2 \right\}$$

ここで、(1) の過程で得た $b^2 - a = -c = -(b + 1)$ を用いると、

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{AB}|^2 &= b^2 + \{-(b + 1)\}^2 \\ &= 2b^2 + 2b + 1 \end{aligned}$$

また、$b^2 + b + 1 - a = 0$ より $2a - 1 = 2b^2 + 2b + 1$ が成り立つため、$|\overrightarrow{AB}|^2 = 2a - 1$ となる。 したがって、$\triangle ABC$ の面積は、

$$S_1 = \frac{2a - 1}{2} = a - \frac{1}{2}$$

一方、弓形の面積 $S_2$ は、

$$S_2 = \int_b^c \left( \text{線分} BC \text{の式} - x^2 \right) dx = \frac{1}{6}(c - b)^3$$

(1) より $c - b = 1$ であるため、

$$S_2 = \frac{1}{6} \cdot 1^3 = \frac{1}{6}$$

よって、求める面積 $S$ は、

$$S = S_1 - S_2 = \left( a - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{6} = a - \frac{2}{3}$$

解法2

(1)の別解：内積と長さを利用する

$AB = AC$ より $|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2$ であるから、

$$b^2 + (b^2 - a)^2 = c^2 + (c^2 - a)^2$$

これを整理する。

$$\begin{aligned} c^2 - b^2 + (c^2 - a)^2 - (b^2 - a)^2 &= 0 \\ (c - b)(c + b) + (c^2 - a - b^2 + a)(c^2 - a + b^2 - a) &= 0 \\ (c - b)(c + b) + (c^2 - b^2)(c^2 + b^2 - 2a) &= 0 \\ (c - b)(c + b) \left\{ 1 + (c^2 + b^2 - 2a) \right\} &= 0 \end{aligned}$$

$0 \leqq b < c$ より $(c - b)(c + b) > 0$ であるから、両辺を割って次の関係式を得る。

$$b^2 + c^2 = 2a - 1 \quad \cdots \text{①}$$

次に、$AB \perp AC$ より $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ であるから、

$$\begin{aligned} bc + (b^2 - a)(c^2 - a) &= 0 \\ bc + (bc)^2 - a(b^2 + c^2) + a^2 &= 0 \end{aligned}$$

これに①を代入する。

$$\begin{aligned} bc + (bc)^2 - a(2a - 1) + a^2 &= 0 \\ (bc)^2 + bc - a^2 + a &= 0 \\ (bc + a)(bc - a + 1) &= 0 \end{aligned}$$

$b \geqq 0, c > 0, a \geqq 1$ より $bc + a > 0$ であるため、次を得る。

$$bc = a - 1 \quad \cdots \text{②}$$

①と②を用いて $b + c$ を求める。

$$(b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = (2a - 1) + 2(a - 1) = 4a - 3$$

$b + c > 0$ より $b + c = \sqrt{4a - 3}$ である。 $b, c$ は $t$ についての2次方程式 $t^2 - (b + c)t + bc = 0$ の解であるから、

$$t^2 - \sqrt{4a - 3} t + a - 1 = 0$$

解の公式を用いて $t$ を求めると、

$$t = \frac{\sqrt{4a - 3} \pm \sqrt{(4a - 3) - 4(a - 1)}}{2} = \frac{\sqrt{4a - 3} \pm 1}{2}$$

$b < c$ より、$b$ と $c$ の値が確定する。これらを $y = x^2$ に代入して $y$ 座標を求めれば、解法1と同じ結果を得る。

解説

(1)の直角二等辺三角形の条件は、ベクトルの回転（あるいは複素数平面での回転）を用いると対称性が崩れて因数分解がしやすくなり、計算量を大きく抑えることができる。解法2のように長さと内積の条件から連立方程式を作っても、基本対称式（$b+c$ と $bc$）を求める定石の形に持ち込めるため、方針として確実である。 (2)の面積計算では、愚直に定積分を計算しようとすると式が非常に煩雑になる。グラフの位置関係と凸性を正しく把握し、「三角形の面積から弓形を引く」という構図に気づくことが、計算ミスを防ぐ最大のポイントである。

答え

(1) $B\left( \frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}, \frac{2a-1-\sqrt{4a-3}}{2} \right), \quad C\left( \frac{\sqrt{4a-3}+1}{2}, \frac{2a-1+\sqrt{4a-3}}{2} \right)$

(2) $a - \frac{2}{3}$