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九州大学 1981年理系第3問解説

方針・初手

行列の累乗による定義式から数列の漸化式を導き、それを利用して数学的帰納法で不等式や等式を証明していく。(4)の極限では、(3)で得た等式と(2)で得た不等式（はさみうちの原理による極限への応用）を組み合わせる。問題の誘導に素直に乗って順序立てて処理することが重要である。

解法1

(1)

与えられた条件より、

$$\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A^{n+1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = A \left\{ A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$$

行列 $A$ を代入して計算すると、

$$\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a_n + 4b_n \\ 2a_n + 3b_n \end{pmatrix}$$

行列の成分を比較して、

$$a_{n+1} = 3a_n + 4b_n$$

$$b_{n+1} = 2a_n + 3b_n$$

(2)

数学的帰納法を用いて証明する。

[1] $n=1$ のとき

$$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

よって、$a_1 = 3, b_1 = 2$ である。このとき、$3 > 2 > 1$ は真であるから、$a_1 > b_1 > 1$ となり、$n=1$ のとき成立する。

[2] $n=k$ （$k$ は正の整数）のとき成立すると仮定する。

すなわち、$a_k > b_k > k$ が成り立つと仮定する。 $n=k+1$ のときを考える。 (1)の漸化式より、

$$a_{k+1} - b_{k+1} = (3a_k + 4b_k) - (2a_k + 3b_k) = a_k + b_k$$

帰納法の仮定 $a_k > k \geqq 1, b_k > k \geqq 1$ より $a_k > 0, b_k > 0$ であるから、

$$a_k + b_k > 0$$

よって、$a_{k+1} > b_{k+1}$ が成り立つ。次に、$b_{k+1} - (k+1)$ を評価する。

$$b_{k+1} = 2a_k + 3b_k$$

帰納法の仮定 $a_k > k, b_k > k$ を用いると、

$$b_{k+1} > 2k + 3k = 5k$$

ここで、$k \geqq 1$ であるから、

$$5k - (k+1) = 4k - 1 \geqq 4 \cdot 1 - 1 = 3 > 0$$

したがって、$b_{k+1} > k+1$ が成り立つ。以上より、$a_{k+1} > b_{k+1} > k+1$ となり、$n=k+1$ のときも成立する。

[1], [2] より、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n > b_n > n$ が成り立つ。

(3)

数学的帰納法を用いて証明する。

[1] $n=1$ のとき

$a_1 = 3, b_1 = 2$ より、

$$a_1^2 - 2b_1^2 = 3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1$$

よって、$n=1$ のとき成立する。

[2] $n=k$ （$k$ は正の整数）のとき成立すると仮定する。

すなわち、$a_k^2 - 2b_k^2 = 1$ が成り立つと仮定する。 $n=k+1$ のとき、(1)の漸化式を用いて計算すると、

$$\begin{aligned} a_{k+1}^2 - 2b_{k+1}^2 &= (3a_k + 4b_k)^2 - 2(2a_k + 3b_k)^2 \\ &= (9a_k^2 + 24a_kb_k + 16b_k^2) - 2(4a_k^2 + 12a_kb_k + 9b_k^2) \\ &= (9 - 8)a_k^2 + (24 - 24)a_kb_k + (16 - 18)b_k^2 \\ &= a_k^2 - 2b_k^2 \end{aligned}$$

帰納法の仮定より $a_k^2 - 2b_k^2 = 1$ であるから、

$$a_{k+1}^2 - 2b_{k+1}^2 = 1$$

となり、$n=k+1$ のときも成立する。

[1], [2] より、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n^2 - 2b_n^2 = 1$ が成り立つ。

(4)

(3)の結論 $a_n^2 - 2b_n^2 = 1$ より、両辺を $b_n^2$ で割ることを考える。 (2)の結論より $b_n > n \geqq 1$ であるから、$b_n \neq 0$ であり、

$$\left( \frac{a_n}{b_n} \right)^2 - 2 = \frac{1}{b_n^2}$$

式を整理して、

$$\left( \frac{a_n}{b_n} \right)^2 = 2 + \frac{1}{b_n^2}$$

ここで、(2)の結論より $b_n > n$ であり、$\lim_{n \to \infty} n = \infty$ であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n^2} = 0$$

となるため、極限をとると、

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right)^2 = 2$$

となる。さらに、(2)より $a_n > b_n > 0$ であるため、すべての正の整数 $n$ において $\frac{a_n}{b_n} > 0$ である。ゆえに、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \sqrt{2}$$

解説

行列の累乗から定まる数列に関する典型的な誘導問題である。 (1)で行列の積の定義に従って漸化式を立て、(2)と(3)でその漸化式を用いた数学的帰納法を回す。(4)では、(3)で作った二次式と(2)で得られた発散の事実（$b_n \to \infty$）を組み合わせて極限値を求める。 (3)については、ペル方程式 $x^2 - 2y^2 = 1$ の解を行列を用いて生成するという背景があり、数学的に非常に美しい構造を持っている。この背景知識がなくても、漸化式を用いた素直な計算で解決できるようになっている。