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九州大学 1978年文系第5問解説

方針・初手

本問は、分数関数の合成と行列の積の対応関係をテーマにした問題である。 (1) は関数に直接代入して係数比較を行い、行列の積と結果が一致することを確認する。 (2) は行列の累乗を計算する。数項計算して結果を推測し、数学的帰納法で証明するか、単位行列とべき零行列の和に分解して二項定理を用いる。 (3) は漸化式で定められた分数関数である。(1) と (2) の結果を利用し、関数の合成を行列の積に対応させることで、計算をほとんど行わずに一般項を求めることができる。直接計算で推測して帰納法で示すことも可能である。

解法1

(1)

$z = \frac{y}{cy+d}$ に $y = \frac{x}{ax+b}$ を代入する。

$$z = \frac{\frac{x}{ax+b}}{c \cdot \frac{x}{ax+b} + d}$$

分母と分子に $ax+b$ を掛けて整理する。

$$z = \frac{x}{cx + d(ax+b)} = \frac{x}{(ad+c)x + bd}$$

問題の条件より、これが $z = \frac{x}{ex+f}$ と一致するので、対応する位置の式を比較して、

$$e = ad+c, \quad f = bd$$

とする。一方、行列 $A, B$ の積 $BA$ を計算すると、

$$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c+da & db \end{pmatrix}$$

となる。これと $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ e & f \end{pmatrix}$ の各成分を比較すると、$e = ad+c$、$f = bd$ であるから、

$$C = BA$$

が成り立つ。

(2)

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix}$$

について、$A^2, A^3$ を計算する。

$$A^2 = AA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2a & 1 \end{pmatrix}$$

$$A^3 = AA^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3a & 1 \end{pmatrix}$$

この結果から、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ na & 1 \end{pmatrix}$ であると推測される。これを数学的帰納法を用いて証明する。

(i) $n=2$ のとき上記の計算により $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2a & 1 \end{pmatrix}$ となり、推測は成り立つ。

(ii) $n=k$ （$k \geqq 2$）のとき $A^k = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ ka & 1 \end{pmatrix}$ が成り立つと仮定する。$n=k+1$ のときを考えると、

$$A^{k+1} = A A^k = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ ka & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ ka+a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ (k+1)a & 1 \end{pmatrix}$$

となり、$n=k+1$ のときも推測は成り立つ。

(i), (ii) より、2以上の自然数 $n$ について、

$$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ na & 1 \end{pmatrix}$$

(3)

(1) の結果から、2つの関数 $y = \frac{x}{ax+b}$ と $z = \frac{y}{cy+d}$ の合成関数 $z = \frac{x}{ex+f}$ に対応する行列 $C$ は、それぞれの関数に対応する行列 $B$ と $A$ の積 $BA$ に等しいことが示された。（合成の順序と行列の積の順序が逆になることに注意する）

$y_1 = \frac{x}{ax+1}$ に対応する行列は、(1) において $b=1$ とした $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix}$ である。 $y_n = \frac{y_{n-1}}{ay_{n-1}+1}$ という漸化式は、$y_{n-1}$ を与える式に、対応する行列が $A$ である関数を適用して $y_n$ を得ることを意味している。

したがって、$y_n$ を $x$ で表した式に対応する行列は、行列 $A$ を $n$ 回掛け合わせた $A^n$ となる。 (2) より $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ na & 1 \end{pmatrix}$ であるから、$y_n$ はこの行列に対応する分数関数となる。すなわち、

$$y_n = \frac{x}{nax+1}$$

解法2

(2) および (3) についての別解を示す。

(2) の別解

行列 $A$ を単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と行列 $N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を用いて表すと、

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a & 0 \end{pmatrix} = E + aN$$

ここで、$N^2$ を計算すると、

$$N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$$

となる。$E$ と $aN$ は交換可能（$E(aN) = (aN)E = aN$）であるため、二項定理を用いて $A^n$ を展開できる。$N^2 = O$ より $N^k = O$ ($k \geqq 2$) であるから、展開式は2項めまでしか残らない。

$$A^n = (E + aN)^n = E^n + {}_n\mathrm{C}_1 E^{n-1} (aN) + O$$

$$A^n = E + naN = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ na & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ na & 1 \end{pmatrix}$$

(3) の別解

漸化式 $y_n = \frac{y_{n-1}}{ay_{n-1}+1}$ を用いて、最初の数項を直接計算し推測する。

$$y_2 = \frac{y_1}{ay_1+1} = \frac{\frac{x}{ax+1}}{a \cdot \frac{x}{ax+1} + 1} = \frac{x}{ax + (ax+1)} = \frac{x}{2ax+1}$$

$$y_3 = \frac{y_2}{ay_2+1} = \frac{\frac{x}{2ax+1}}{a \cdot \frac{x}{2ax+1} + 1} = \frac{x}{ax + (2ax+1)} = \frac{x}{3ax+1}$$

これより、$y_n = \frac{x}{nax+1}$ であると推測される。これを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき $y_1 = \frac{x}{ax+1}$ となり、推測は与えられた初期条件と一致する。

(ii) $n=k$ のとき $y_k = \frac{x}{kax+1}$ が成り立つと仮定する。$n=k+1$ のとき、

$$y_{k+1} = \frac{y_k}{ay_k+1} = \frac{\frac{x}{kax+1}}{a \cdot \frac{x}{kax+1} + 1} = \frac{x}{ax + (kax+1)} = \frac{x}{(k+1)ax+1}$$

となり、$n=k+1$ のときも推測は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について、$y_n = \frac{x}{nax+1}$ が成り立つ。

解説

分数一次変換の合成が、対応する行列の積として表せるという有名事実をテーマにした誘導問題である。(1) でその対応関係に気づくことができれば、(3) で煩雑な計算をすることなく、行列 $A^n$ の成分を読むだけで瞬時に答えを導くことができる。

もちろん、本問の (2) と (3) は独立して解くことも可能であり、解法2で示したような直接的な計算や帰納法も確実な方法として有効である。(2) の $A^n$ の計算において、行列を $E + N$ （$N$ はべき零行列）の形に分解して二項定理を用いる手法は、行列の累乗計算における定石の1つであるため習得しておきたい。