九州大学 1987年 文系 第6問 解説

方針・初手

$n$ 回の操作後の状態推移を考える。Aの中にある球の総数は常に2個、Bの中にある球の総数も常に2個である。Aの中の白球の個数（0個、1個、2個）に注目し、1回の操作によって状態がどのように推移するか、その確率を求めて漸化式を立てる。

解法1

$n$ 回操作した後に、事象 $A_n(0), A_n(1), A_n(2)$ が起こる確率をそれぞれ $p_n, q_n, r_n$ とおく。 初期状態ではAの中に赤球2個、Bの中に白球2個が入っており、Aの中に白球は0個であるから、$p_0 = 1, q_0 = 0, r_0 = 0$ である。

各操作前後において、Aには球が2個、Bには球が2個入っている状態が保たれる。 1回の操作による状態の推移確率は、以下のように計算できる。

(i) $A_n(0)$ の状態からの推移 Aの中は赤2個、Bの中は白2個である。 Aから無作為に1個を取り出すと必ず赤球であり、それをBに入れると、Bの中は「白2個、赤1個」の計3個になる。 次にBから無作為に1個を取り出しAに戻すとき、 ・それが白球である確率 $\frac{2}{3}$ で、Aの中は白1個、赤1個となり、$A_{n+1}(1)$ へ推移する。 ・それが赤球である確率 $\frac{1}{3}$ で、Aの中は白0個、赤2個となり、$A_{n+1}(0)$ へ推移する。

(ii) $A_n(1)$ の状態からの推移 Aの中は白1個・赤1個、Bの中は白1個・赤1個である。 Aから無作為に1個を取り出すとき、それが白球である確率と赤球である確率はともに $\frac{1}{2}$ である。 ・Aから白球を取り出した場合、直後のBの中は「白2個、赤1個」になる。 そこから白球を取り出しAに戻す確率 $\frac{2}{3}$ で、Aは白1個・赤1個に戻る。 そこから赤球を取り出しAに戻す確率 $\frac{1}{3}$ で、Aは白0個・赤2個になる。 ・Aから赤球を取り出した場合、直後のBの中は「白1個、赤2個」になる。 そこから白球を取り出しAに戻す確率 $\frac{1}{3}$ で、Aは白2個・赤0個になる。 そこから赤球を取り出しAに戻す確率 $\frac{2}{3}$ で、Aは白1個・赤1個に戻る。 したがって推移する確率はそれぞれ、 $A_{n+1}(0)$ へ：$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ $A_{n+1}(1)$ へ：$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ $A_{n+1}(2)$ へ：$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

(iii) $A_n(2)$ の状態からの推移 Aの中は白2個、Bの中は赤2個である。 Aから無作為に1個を取り出すと必ず白球であり、それをBに入れると、Bの中は「白1個、赤2個」の計3個になる。 次にBから無作為に1個を取り出しAに戻すとき、 ・それが白球である確率 $\frac{1}{3}$ で、Aの中は白2個、赤0個となり、$A_{n+1}(2)$ へ推移する。 ・それが赤球である確率 $\frac{2}{3}$ で、Aの中は白1個、赤1個となり、$A_{n+1}(1)$ へ推移する。

これらより、次の連立漸化式が得られる。

$$\begin{cases} p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{6}q_n \\ q_{n+1} = \frac{2}{3}p_n + \frac{2}{3}q_n + \frac{2}{3}r_n \\ r_{n+1} = \frac{1}{6}q_n + \frac{1}{3}r_n \end{cases}$$

(1) 漸化式に $n=0$ を代入すると、$p_0 = 1, q_0 = 0, r_0 = 0$ より、

$$p_1 = \frac{1}{3} \cdot 1 + 0 = \frac{1}{3}$$

$$q_1 = \frac{2}{3} \cdot 1 + 0 = \frac{2}{3}$$

$$r_1 = 0$$

続いて $n=1$ を代入すると、

$$p_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$$

$$q_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 0 = \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3}$$

$$r_2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{9} + 0 = \frac{1}{9}$$

(2) 漸化式の第2式と、確率の総和 $p_n + q_n + r_n = 1$ より、

$$q_{n+1} = \frac{2}{3} (p_n + q_n + r_n) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$$

したがって、$n \geqq 1$ のとき常に $q_n = \frac{2}{3}$ である。 これと $p_n + q_n + r_n = 1$ より、$n \geqq 1$ のとき

$$p_n + r_n = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

また、漸化式の第1式から第3式を引くと、

$$p_{n+1} - r_{n+1} = \frac{1}{3} (p_n - r_n)$$

よって、数列 $\{p_n - r_n\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であり、$p_1 - r_1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ であるから、

$$p_n - r_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \left( \frac{1}{3} \right)^n$$

$n \geqq 1$ のとき、$p_n + r_n = \frac{1}{3}$ と $p_n - r_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n$ の辺々を足し引きして2で割ると、

$$p_n = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\}$$

$$r_n = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\}$$

これらは $q_n = \frac{2}{3}$ とともに、(1) で求めた $p_1, q_1, r_1$ の値とも一致し、$n \geqq 1$ で成立する。

解説

確率漸化式の典型問題である。Aの中の白球の個数によって状態を分類し、推移確率を正確に立式できるかが鍵となる。 漸化式を立てた後、$p_n + q_n + r_n = 1$ を用いると $q_{n+1}$ が $n$ に依存しない一定値になることに気付けると、計算量が大幅に軽減される。また、$p_n$ と $r_n$ に関する式が対称な形をしているため、差 $p_n - r_n$ に着目するのも連立漸化式を解く際の有効な定石である。

答え

(1) 事象 $A_2(0)$ が起こる確率：$\frac{2}{9}$ 事象 $A_2(1)$ が起こる確率：$\frac{2}{3}$ 事象 $A_2(2)$ が起こる確率：$\frac{1}{9}$

(2) 事象 $A_n(0)$ が起こる確率：$\frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\}$ 事象 $A_n(1)$ が起こる確率：$\frac{2}{3}$ 事象 $A_n(2)$ が起こる確率：$\frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\}$