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九州大学 2015年文系第3問解説

方針・初手

袋の中の玉の総数は常に $3$ 個であるため、青玉の個数に注目することで状態を過不足なく把握できる。操作ごとに青玉の個数がどのように変化するか、その遷移確率を求め、状態推移を順番に追っていく。

解法1

$n$ 回目の操作を終えた時点での袋の中の青玉の個数を $X_n$ とする。初期状態は赤玉 $2$ 個、青玉 $1$ 個なので、$X_0 = 1$ である。

$1$ 回の操作で、青玉の個数 $k$ は次のように変化する。

赤玉を取り出した場合、代わりに青玉を入れるので青玉は $1$ 個増える（$k \to k+1$）。この確率は $\frac{3-k}{3}$ である。
青玉を取り出した場合、代わりに赤玉を入れるので青玉は $1$ 個減る（$k \to k-1$）。この確率は $\frac{k}{3}$ である。

硬貨をもらうのは、袋の中がすべて青玉になる、すなわち $X_n = 3$ となったときである。青玉の個数は操作ごとに必ず $1$ 増えるか $1$ 減るため、$X_n$ の偶奇は操作ごとに毎回入れ替わる。 $X_0 = 1$（奇数）から出発するため、$X_n = 3$ となる可能性があるのは $n$ が偶数のときのみ、すなわち $2$ 回目と $4$ 回目の操作後のみである。

まず、$2$ 回目の操作後に青玉の個数がどうなるかを考える。 $X_2 = 3$ となる推移は $1 \to 2 \to 3$ のみであり、その確率は

$$ \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} $$

である。また、$X_2 = 1$ となる推移は $1 \to 2 \to 1$ または $1 \to 0 \to 1$ であり、その確率は

$$ \left( \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} \times 1 \right) = \frac{4}{9} + \frac{1}{3} = \frac{7}{9} $$

である。（なお、$X_2$ は奇数であるから、これら以外の値をとる確率は $0$ である。）

次に、$2$ 回の操作での遷移確率を利用して、$4$ 回目の操作後について考える。もらう硬貨の総数が $2$ 枚となるのは、$2$ 回目と $4$ 回目の両方ですべて青玉になる、すなわち $X_2 = 3$ かつ $X_4 = 3$ の場合である。 $X_2 = 3$ のとき、次の操作では必ず青玉を取り出すため $X_3 = 2$ となり、さらにその次の操作で赤玉を取り出すと $X_4 = 3$ となる。したがって、状態が $3 \to 2 \to 3$ と推移する確率は

$$ 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $$

である。これより、硬貨の総数が $2$ 枚となる確率は

$$ \frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27} $$

である。

もらう硬貨の総数が $1$ 枚となるのは、「$2$ 回目のみすべて青玉になる」または「$4$ 回目のみすべて青玉になる」場合である。

(i) $2$ 回目のみすべて青玉になる場合

条件は $X_2 = 3$ かつ $X_4 \neq 3$ である。 $X_2 = 3$ の後、$X_4 \neq 3$ すなわち $X_4 = 1$ となる確率は、推移が $3 \to 2 \to 1$ となる確率であるから

$$ 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $$

よって、この場合の確率は

$$ \frac{2}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{27} = \frac{12}{81} $$

である。

(ii) $4$ 回目のみすべて青玉になる場合

条件は $X_2 \neq 3$ かつ $X_4 = 3$ である。 $2$ 回目の操作後に $X_2 \neq 3$ である確率は、$X_2 = 1$ となる確率に等しく $\frac{7}{9}$ である。 $X_2 = 1$ の状態から $2$ 回の操作後に $X_4 = 3$ となる確率は、初期状態 $X_0 = 1$ から $X_2 = 3$ となる確率と同じく $\frac{2}{9}$ である。よって、この場合の確率は

$$ \frac{7}{9} \times \frac{2}{9} = \frac{14}{81} $$

である。

(i)、(ii) は互いに排反であるから、硬貨の総数が $1$ 枚となる確率は

$$ \frac{12}{81} + \frac{14}{81} = \frac{26}{81} $$

である。

解説

状態の遷移を確率で追う、典型的な確率過程（マルコフ連鎖）の問題である。袋の中の玉の総数が一定であることに着目し、青玉の個数を状態として捉えることで見通しが良くなる。また、青玉の個数の偶奇が操作ごとに切り替わることに気付けば、硬貨をもらうタイミングが偶数回目の操作後のみに限定されることが分かり、余計な推移を考える手間を省くことができる。後半は、$2$ 回の操作を $1$ つのまとまりとして捉えることで、計算の負担を減らすことができる。