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九州大学 1999年文系第3問解説

方針・初手

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ および $\{b_n\}$ の一般項、またはその性質を明らかにする。

(1) は隣接二項間漸化式から一般項 $a_n$ を求め、その和 $S_n$ を計算する。このとき、漸化式の係数 $p$ の値によって特性方程式の解の有無が変わるため、$p=1$ と $p \neq 1$ の場合分けが必要になることに注意する。

(2) は群数列の問題である。数列 $\{b_n\}$ は第 $n$ 区画（群）に含まれる項数を表しているため、まず $b_n$ の一般項を求める。その後、第 $m$ 区画の末尾が元の数列 $\{a_n\}$ の第何項にあたるかを計算し、(1) で求めた和 $S_n$ を用いて $T_m$ を求める。

解法1

(1)

与えられた $\{a_n\}$ の漸化式は以下の通りである。

$$a_{n+1} = p a_n - p$$

ここで、$p=1$ の場合と $p \neq 1$ の場合で分けて考える。

(i) $p = 1$ のとき

漸化式は $a_{n+1} = a_n - 1$ となる。これは、初項 $a_1 = 1$、公差 $-1$ の等差数列である。よって、一般項 $a_n$ は、

$$a_n = 1 + (n - 1) \cdot (-1) = -n + 2$$

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、等差数列の和の公式より、

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(1 - n + 2)}{2} = \frac{n(3 - n)}{2}$$

(ii) $p \neq 1$ のとき

特性方程式 $\alpha = p\alpha - p$ を解くと、$\alpha = \frac{p}{p-1}$ となる。漸化式は次のように変形できる。

$$a_{n+1} - \frac{p}{p-1} = p \left( a_n - \frac{p}{p-1} \right)$$

よって、数列 $\left\{ a_n - \frac{p}{p-1} \right\}$ は、初項が $a_1 - \frac{p}{p-1} = 1 - \frac{p}{p-1} = \frac{-1}{p-1}$、公比 $p$ の等比数列である。したがって、

$$a_n - \frac{p}{p-1} = \frac{-1}{p-1} \cdot p^{n-1} = - \frac{p^{n-1}}{p-1}$$

$$a_n = \frac{p - p^{n-1}}{p-1}$$

和 $S_n$ を求める。

$$\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n a_k \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{p - p^{k-1}}{p-1} \\ &= \frac{1}{p-1} \left( \sum_{k=1}^n p - \sum_{k=1}^n p^{k-1} \right) \\ &= \frac{1}{p-1} \left( pn - \frac{1 - p^n}{1 - p} \right) \\ &= \frac{pn}{p-1} + \frac{p^n - 1}{(p-1)^2} \end{aligned}$$

(2)

まず、数列 $\{b_n\}$ について調べる。

$$b_{n+1} = b_n + (-1)^{n+1} q$$

$n \geqq 2$ のとき、$b_n$ は階差数列の公式を用いて以下のように表せる。

$$\begin{aligned} b_n &= b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k+1} q \\ &= q + q \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k+1} \end{aligned}$$

$\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k+1} = 1 - 1 + 1 - \dots$ であるため、 $n$ が奇数のとき、$n-1$ は偶数なので和は $0$ となる。このとき $b_n = q$。 $n$ が偶数のとき、$n-1$ は奇数なので和は $1$ となる。このとき $b_n = q + q = 2q$。これは $n=1$ のとき $b_1 = q$ も満たす。ゆえに、奇数番目の区画の項数は $q$ 個、偶数番目の区画の項数は $2q$ 個である。

次に、第 $m$ 区画（$m$ は正の偶数）に含まれる項の和 $T_m$ を求める。第 $1$ 区画から第 $m$ 区画までに含まれる総項数を $N_m$ とすると、

$$N_m = \sum_{k=1}^m b_k$$

$m$ は偶数であるから、$m=2l$（$l$ は自然数）とおける。各奇数番目とそれに続く偶数番目のペア（第 $2k-1$ 区画と第 $2k$ 区画）の項数の和は $q + 2q = 3q$ である。したがって、ペアは $\frac{m}{2}$ 個あるので、

$$N_m = 3q \cdot \frac{m}{2} = \frac{3qm}{2}$$

第 $m$ 区画は、数列 $\{a_n\}$ の第 $N_{m-1}+1$ 項から第 $N_m$ 項までの部分である。 $N_{m-1} = N_m - b_m = \frac{3qm}{2} - 2q$ である。（$m$ は偶数より $b_m = 2q$）よって、$T_m = S_{N_m} - S_{N_{m-1}}$ として計算できる。

(i) $p = 1$ のとき

(1) の結果より $S_n = \frac{n(3-n)}{2}$ であり、等差数列の和であるから、第 $m$ 区画の和 $T_m$ は、項数 $b_m = 2q$、初項 $a_{N_{m-1}+1}$、末項 $a_{N_m}$ を用いて計算できる。

$$\begin{aligned} a_{N_{m-1}+1} &= - \left( \frac{3qm}{2} - 2q + 1 \right) + 2 = - \frac{3qm}{2} + 2q + 1 \\ a_{N_m} &= - \frac{3qm}{2} + 2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} T_m &= \frac{b_m}{2} (a_{N_{m-1}+1} + a_{N_m}) \\ &= \frac{2q}{2} \left( - \frac{3qm}{2} + 2q + 1 - \frac{3qm}{2} + 2 \right) \\ &= q ( -3qm + 2q + 3 ) \\ &= -3mq^2 + 2q^2 + 3q \end{aligned}$$

(ii) $p \neq 1$ のとき

$T_m = S_{N_m} - S_{N_{m-1}}$ を計算する。

$$\begin{aligned} T_m &= \left( \frac{p N_m}{p-1} + \frac{p^{N_m} - 1}{(p-1)^2} \right) - \left( \frac{p N_{m-1}}{p-1} + \frac{p^{N_{m-1}} - 1}{(p-1)^2} \right) \\ &= \frac{p (N_m - N_{m-1})}{p-1} + \frac{p^{N_m} - p^{N_{m-1}}}{(p-1)^2} \end{aligned}$$

ここで、$N_m - N_{m-1} = b_m = 2q$ を代入する。

$$\begin{aligned} T_m &= \frac{2pq}{p-1} + \frac{p^{\frac{3qm}{2}} - p^{\frac{3qm}{2} - 2q}}{(p-1)^2} \\ &= \frac{2pq}{p-1} + \frac{p^{\frac{3qm}{2} - 2q} (p^{2q} - 1)}{(p-1)^2} \end{aligned}$$

解説

(1) は等比数列に帰着させる基本的な隣接二項間漸化式であるが、文字定数 $p$ を含むため、$p=1$ の場合（等差数列になる場合）を見落とさないように注意が必要である。ここで減点されるケースは非常に多い。

(2) は群数列の標準的な問題である。各群の項数 $\{b_n\}$ が規則的に変化することを見抜き、求める和の範囲を「第 $N_m$ 項までの和」の差として立式する定石を用いる。ここでも (1) の場合分けを引き継いで計算を行う必要がある。$T_m$ の計算において、等差数列・等比数列の和の性質をうまく使えば、計算量とミスを減らすことができる。