九州大学 1999年 文系 第4問 解説

方針・初手

与えられた3つの数をそれぞれ $A, B, C$ とおき、差をとって符号を調べることで大小関係を比較する。各数は正であるため、必要に応じて累乗の差を計算することも有効である。

解法1

与えられた3つの数をそれぞれ以下のように置く。

$$A = \frac{a+2b}{3}, \quad B = \sqrt{ab}, \quad C = \sqrt[3]{\frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}}$$

まず、$A$ と $B$ の大小を比較するために $A - B$ を計算する。

$$A - B = \frac{a+2b}{3} - \sqrt{ab} = \frac{a - 3\sqrt{ab} + 2b}{3}$$

分子を $\sqrt{a}$ と $\sqrt{b}$ の2次式とみて因数分解する。

$$A - B = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} - 2\sqrt{b})}{3}$$

条件 $0 < a < b$ より $0 < \sqrt{a} < \sqrt{b}$ であるから、各因数の符号は以下のようになる。

$$\begin{aligned} \sqrt{a} - \sqrt{b} &< 0 \\ \sqrt{a} - 2\sqrt{b} &< \sqrt{b} - 2\sqrt{b} = -\sqrt{b} < 0 \end{aligned}$$

よって、$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} - 2\sqrt{b}) > 0$ となるため、$A - B > 0$ すなわち $B < A$ が成り立つ。

次に、$A$ と $C$ の大小を比較する。両者とも正の数であるため、3乗の差 $C^3 - A^3$ を計算して符号を調べる。

$$\begin{aligned} C^3 - A^3 &= \frac{b(a^2+ab+b^2)}{3} - \left(\frac{a+2b}{3}\right)^3 \\ &= \frac{9a^2b + 9ab^2 + 9b^3}{27} - \frac{a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3}{27} \\ &= \frac{-a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3}{27} \end{aligned}$$

分子を因数分解する。

$$C^3 - A^3 = \frac{(b-a)^3}{27}$$

条件 $0 < a < b$ より $b - a > 0$ であるから、$C^3 - A^3 > 0$ すなわち $A^3 < C^3$ が成り立つ。 $A > 0, C > 0$ より $A < C$ である。

以上より、$B < A < C$ となる。

解法2

与えられた3つの数は $a, b$ についての1次同次式である。$a > 0$ であるから、全体を $a$ でくくり出すことで見通しを良くする。 $t = \frac{b}{a}$ とおくと、条件 $0 < a < b$ より $t > 1$ である。与えられた3つの数は次のように表される。

$$\begin{aligned} \frac{a+2b}{3} &= a \cdot \frac{1+2t}{3} \\ \sqrt{ab} &= a \sqrt{t} \\ \sqrt[3]{\frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}} &= a \sqrt[3]{\frac{t(1+t+t^2)}{3}} \end{aligned}$$

$a > 0$ より、カッコ内の $t$ の式の大小を比較すればよい。これらを順に $f(t), g(t), h(t)$ とおく。

まず、$f(t)$ と $g(t)$ の大小を比較する。

$$f(t) - g(t) = \frac{1+2t}{3} - \sqrt{t} = \frac{1 - 3\sqrt{t} + 2t}{3} = \frac{(1-\sqrt{t})(1-2\sqrt{t})}{3}$$

$t > 1$ より $\sqrt{t} > 1$ であるから、$1-\sqrt{t} < 0$ かつ $1-2\sqrt{t} < -1 < 0$ となる。 よって $f(t) - g(t) > 0$ より $g(t) < f(t)$ が成り立つ。

次に、$f(t)$ と $h(t)$ の大小を比較する。両者とも正であるから、3乗の差をとる。

$$\begin{aligned} \{h(t)\}^3 - \{f(t)\}^3 &= \frac{t(1+t+t^2)}{3} - \left(\frac{1+2t}{3}\right)^3 \\ &= \frac{9t + 9t^2 + 9t^3 - (1 + 6t + 12t^2 + 8t^3)}{27} \\ &= \frac{t^3 - 3t^2 + 3t - 1}{27} \\ &= \frac{(t-1)^3}{27} \end{aligned}$$

$t > 1$ より $t-1 > 0$ であるから、$\{h(t)\}^3 - \{f(t)\}^3 > 0$ が成り立つ。 $f(t) > 0, h(t) > 0$ より $f(t) < h(t)$ である。

以上より、$g(t) < f(t) < h(t)$ が成り立つため、元の数についても同様の大小関係が成立する。

解説

複数の文字が含まれる式の大小比較に関する問題である。差を計算して因数分解に持ち込むのが不等式証明の基本手技となる。累乗根を外すために累乗してから差をとる工夫も重要である。

また、解法2で示したように、与えられた式がすべて「$a$ と $b$ の1次同次式（各項の次数が揃っている式）」であることに着目できると計算の見通しが非常に良くなる。同次式の場合は比 $t = \frac{b}{a}$ を用いることで、2変数の問題を1変数関数の問題へと帰着させることができる。

答え

$$\sqrt{ab} < \frac{a+2b}{3} < \sqrt[3]{\frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}}$$