九州大学 2001年 文系 第3問 解説

方針・初手

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1$ の性質を読み解く問題です。

(1) は漸化式の右辺を平方完成することで、常に正であることを示せます。 (2) は帰納法を用いるか、漸化式を $a_{n+1} - 1 = a_n(a_n - 1)$ と変形して繰り返し代入することで証明できます。 (3) は与えられた定義に従って具体的に計算します。 (4) は (3) で得られた具体的な値から結果を予測し帰納法で証明するか、(2) と同様に漸化式を部分分数分解の形に変形して和を計算するアプローチが有効です。

解法1

(1)

与えられた漸化式を変形する。

$$a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1 = \left( a_n - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}$$

実数の2乗は0以上であるから、$\left( a_n - \frac{1}{2} \right)^2 \geqq 0$ である。 したがって、任意の自然数 $n$ について

$$a_{n+1} \geqq \frac{3}{4} > 0$$

が成り立つ。 また、$a_1 = 2 > 0$ である。 以上より、すべての自然数 $n$ について $a_n > 0$ であることが示された。

(2)

与えられた漸化式を移項して変形する。

$$a_{k+1} - 1 = a_k(a_k - 1)$$

この関係式を繰り返し用いると、

$$\begin{aligned} a_{n+1} - 1 &= a_n(a_n - 1) \\ &= a_n \cdot a_{n-1}(a_{n-1} - 1) \\ &\quad \vdots \\ &= a_n a_{n-1} \cdots a_2 a_1(a_1 - 1) \end{aligned}$$

となる。 ここで、定義より $P_n = a_1 a_2 \cdots a_n$ であり、また $a_1 = 2$ より $a_1 - 1 = 1$ であるから、

$$a_{n+1} - 1 = P_n \cdot 1 = P_n$$

よって、$a_{n+1} = P_n + 1$ が示された。

(3)

順に計算する。 $a_1 = 2$ より

$$S_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{2}$$

漸化式より $a_2 = 2^2 - 2 + 1 = 3$ であるから、

$$S_2 = S_1 + \frac{1}{a_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$$

漸化式より $a_3 = 3^2 - 3 + 1 = 7$ であるから、

$$S_3 = S_2 + \frac{1}{a_3} = \frac{5}{6} + \frac{1}{7} = \frac{35 + 6}{42} = \frac{41}{42}$$

漸化式より $a_4 = 7^2 - 7 + 1 = 43$ であるから、

$$S_4 = S_3 + \frac{1}{a_4} = \frac{41}{42} + \frac{1}{43} = \frac{41 \cdot 43 + 42}{42 \cdot 43} = \frac{1763 + 42}{1806} = \frac{1805}{1806}$$

(4)

漸化式 $a_{k+1} - 1 = a_k(a_k - 1)$ について、両辺の逆数をとる。 （$a_1 = 2$ および漸化式より、帰納的に $a_k \geqq 2$ であるため分母が0になることはない）

$$\frac{1}{a_{k+1} - 1} = \frac{1}{a_k(a_k - 1)}$$

右辺を部分分数分解すると、

$$\frac{1}{a_{k+1} - 1} = \frac{1}{a_k - 1} - \frac{1}{a_k}$$

移項して $\frac{1}{a_k}$ について解くと、

$$\frac{1}{a_k} = \frac{1}{a_k - 1} - \frac{1}{a_{k+1} - 1}$$

これを用いて $S_n$ の和を計算する。

$$\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \\ &= \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{a_k - 1} - \frac{1}{a_{k+1} - 1} \right) \\ &= \left( \frac{1}{a_1 - 1} - \frac{1}{a_2 - 1} \right) + \left( \frac{1}{a_2 - 1} - \frac{1}{a_3 - 1} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{a_n - 1} - \frac{1}{a_{n+1} - 1} \right) \\ &= \frac{1}{a_1 - 1} - \frac{1}{a_{n+1} - 1} \end{aligned}$$

ここで、$a_1 = 2$ より $\frac{1}{a_1 - 1} = 1$ である。 また、(2) の結果から $a_{n+1} - 1 = P_n$ であるから、これを代入して

$$S_n = 1 - \frac{1}{P_n}$$

解法2

(2) と (4) について、数学的帰納法を用いた解法を示す。

(2)

数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき $a_2 = 2^2 - 2 + 1 = 3$ であり、一方 $P_1 + 1 = a_1 + 1 = 2 + 1 = 3$ であるから成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$a_{k+1} = P_k + 1$ が成り立つと仮定する。 $n=k+1$ のとき、定義より $P_{k+1} = P_k a_{k+1}$ である。 帰納法の仮定より $P_k = a_{k+1} - 1$ であるから、これを代入して

$$P_{k+1} = (a_{k+1} - 1)a_{k+1} = a_{k+1}^2 - a_{k+1}$$

ここで、与えられた漸化式から $a_{k+1}^2 - a_{k+1} = a_{k+2} - 1$ であるため、

$$P_{k+1} = a_{k+2} - 1$$

よって、$a_{k+2} = P_{k+1} + 1$ となり $n=k+1$ のときも成り立つ。 以上より、すべての自然数 $n$ について $a_{n+1} = P_n + 1$ である。

(4)

(3) の結果から、 $P_1 = 2$ のとき $S_1 = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{P_1}$ $P_2 = 2 \cdot 3 = 6$ のとき $S_2 = \frac{5}{6} = 1 - \frac{1}{P_2}$ $P_3 = 6 \cdot 7 = 42$ のとき $S_3 = \frac{41}{42} = 1 - \frac{1}{P_3}$ となることから、$S_n = 1 - \frac{1}{P_n}$ であると推測できる。 これを数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき 上記の通り成り立っている。

(ii) $n=k$ のとき、$S_k = 1 - \frac{1}{P_k}$ が成り立つと仮定する。 $n=k+1$ のとき

$$S_{k+1} = S_k + \frac{1}{a_{k+1}} = 1 - \frac{1}{P_k} + \frac{1}{a_{k+1}}$$

ここで (2) より $P_k = a_{k+1} - 1$ であるから、

$$\begin{aligned} S_{k+1} &= 1 - \frac{1}{a_{k+1} - 1} + \frac{1}{a_{k+1}} \\ &= 1 - \frac{a_{k+1} - (a_{k+1} - 1)}{(a_{k+1} - 1)a_{k+1}} \\ &= 1 - \frac{1}{(a_{k+1} - 1)a_{k+1}} \end{aligned}$$

ふたたび (2) より $a_{k+1} - 1 = P_k$ であり、また $P_k a_{k+1} = P_{k+1}$ であるから、

$$S_{k+1} = 1 - \frac{1}{P_k a_{k+1}} = 1 - \frac{1}{P_{k+1}}$$

となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。 以上より、すべての自然数 $n$ について $S_n = 1 - \frac{1}{P_n}$ である。

解説

数列の積と和が絡む典型的な証明・計算問題です。 漸化式 $a_{n+1} - 1 = a_n(a_n - 1)$ の形から、因数分解や部分分数分解を思いつけるかが鍵となります。 (3) のような具体的な計算は、(4) で一般項を求める際の推測材料として非常に重要です。解法1のように式変形で直接導くのが鮮やかですが、思いつかない場合は (3) の結果から帰納法に持ち込む解法2のアプローチが確実です。

答え

(1) 略（証明問題） (2) 略（証明問題） (3) $S_1 = \frac{1}{2}, S_2 = \frac{5}{6}, S_3 = \frac{41}{42}, S_4 = \frac{1805}{1806}$ (4) $S_n = 1 - \frac{1}{P_n}$ (または $\frac{P_n - 1}{P_n}$)