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九州大学 2001年文系第2問解説

方針・初手

グラフが特定の点や直線に関して対称であることを示すには、対称な点の座標を求め、その点が再び元のグラフ上にある条件を恒等式として処理するのが定石である。 (1)と(3)で対称点の座標を一般的に求め、(2)と(4)でそれらをグラフの方程式に代入し、$X$ についての恒等式となるか（あるいはならないか）を調べる。

解法1

(1)

求める対称な点を $(X', Y')$ とする。点 $(p, q)$ は、点 $(X, Y)$ と点 $(X', Y')$ を結ぶ線分の中点であるから、

$$\frac{X + X'}{2} = p, \quad \frac{Y + Y'}{2} = q$$

これらを $X', Y'$ について解くと、

$$X' = 2p - X, \quad Y' = 2q - Y$$

よって、求める点の座標は $(2p - X, 2q - Y)$ である。

(2)

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とおく。グラフ $G$ の方程式は $y = f(x)$ である。 $G$ がある点 $(p, q)$ に関して点対称であるとする。このとき、$G$ 上の任意の点 $(X, Y)$ に対して、(1)で求めた対称点 $(2p - X, 2q - Y)$ も $G$ 上にある。したがって、任意の $X$ について、次の2つの式が成り立つ。

$$\begin{cases} Y = f(X) \\ 2q - Y = f(2p - X) \end{cases}$$

両辺を足し合わせると、

$$2q = f(X) + f(2p - X)$$

この式が $X$ についての恒等式となるような実数 $p, q$ が存在することを示せばよい。右辺を計算して整理する。

$$\begin{aligned} f(X) + f(2p - X) &= X^3 + aX^2 + bX + c + (2p - X)^3 + a(2p - X)^2 + b(2p - X) + c \\ &= X^3 + aX^2 + bX + c - X^3 + 6pX^2 - 12p^2X + 8p^3 + a(X^2 - 4pX + 4p^2) - bX + 2bp + c \\ &= 2(a + 3p)X^2 - 4p(3p + a)X + 8p^3 + 4ap^2 + 2bp + 2c \end{aligned}$$

これが任意の $X$ に対して定数 $2q$ と等しくなる条件は、各次数の係数を比較して、

$$\begin{cases} 2(a + 3p) = 0 \\ -4p(3p + a) = 0 \\ 8p^3 + 4ap^2 + 2bp + 2c = 2q \end{cases}$$

第1式より $p = -\frac{a}{3}$ である。これを第2式に代入すると $0 = 0$ となり成り立つ。さらに第3式に代入すると、

$$\begin{aligned} 2q &= 8\left(-\frac{a}{3}\right)^3 + 4a\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + 2b\left(-\frac{a}{3}\right) + 2c \\ &= -\frac{8a^3}{27} + \frac{4a^3}{9} - \frac{2ab}{3} + 2c \\ &= \frac{4a^3}{27} - \frac{2ab}{3} + 2c \end{aligned}$$

したがって、$q = \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c$ と定まる。このように恒等式を満たす実数 $p, q$ の組が存在するため、$G$ は点 $\left(-\frac{a}{3}, \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c\right)$ に関して点対称であることが示された。

(3)

直線 $x = p$ に関して点 $(X, Y)$ と対称な点を $(X', Y')$ とする。 $y$ 座標は変化しないので $Y' = Y$ である。 $x$ 座標については、点 $(X, Y)$ と点 $(X', Y')$ の中点の $x$ 座標が $p$ となるので、

$$\frac{X + X'}{2} = p \iff X' = 2p - X$$

よって、求める点の座標は $(2p - X, Y)$ である。

(4)

$G$ が $y$ 軸に平行なある直線 $x = p$ に関して線対称であると仮定する。このとき、(3)より $G$ 上の任意の点 $(X, Y)$ に対して、対称な点 $(2p - X, Y)$ も $G$ 上にある。したがって、任意の $X$ について、次の等式が成り立つ。

$$X^3 + aX^2 + bX + c = (2p - X)^3 + a(2p - X)^2 + b(2p - X) + c$$

右辺を展開して $X$ の降べきの順に整理すると、最高次の項は $-X^3$ となる。

$$X^3 + aX^2 + bX + c = -X^3 + (6p + a)X^2 - (12p^2 + 4ap + b)X + 8p^3 + 4ap^2 + 2bp + c$$

この等式が任意の $X$ について成り立つためには、$X^3$ の係数が両辺で等しくなければならない。しかし、左辺の $X^3$ の係数は $1$、右辺の $X^3$ の係数は $-1$ であり、$1 = -1$ は矛盾である。ゆえに、このような実数 $p$ は存在しない。よって、$G$ は $y$ 軸に平行などんな直線に関しても線対称でない。

解法2

(2)の別解（平行移動を用いる解法）

$y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とおく。関数 $f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動して得られるグラフを表す関数を $y = g(x)$ とすると、

$$g(x) = f(x - p) + q$$

となる。ここで $p = \frac{a}{3}$ とする。

$$\begin{aligned} f\left(x - \frac{a}{3}\right) &= \left(x - \frac{a}{3}\right)^3 + a\left(x - \frac{a}{3}\right)^2 + b\left(x - \frac{a}{3}\right) + c \\ &= x^3 - ax^2 + \frac{a^2}{3}x - \frac{a^3}{27} + a\left(x^2 - \frac{2a}{3}x + \frac{a^2}{9}\right) + bx - \frac{ab}{3} + c \\ &= x^3 + \left(-a + a\right)x^2 + \left(\frac{a^2}{3} - \frac{2a^2}{3} + b\right)x - \frac{a^3}{27} + \frac{a^3}{9} - \frac{ab}{3} + c \\ &= x^3 + \left(b - \frac{a^2}{3}\right)x + \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c \end{aligned}$$

ここで $q = -\left(\frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c\right)$ とおくと、$g(x)$ は

$$g(x) = x^3 + \left(b - \frac{a^2}{3}\right)x$$

となる。 $g(-x) = -g(x)$ が成り立つため、関数 $y = g(x)$ のグラフは原点 $(0, 0)$ に関して点対称である。このグラフは元のグラフ $G$ を $x$ 軸方向に $\frac{a}{3}$、$y$ 軸方向に $-\left(\frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c\right)$ 平行移動したものであるから、元のグラフ $G$ も点対称性を持つ。その対称の中心は、原点を逆向きに平行移動した点、すなわち $\left(-\frac{a}{3}, \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c\right)$ である。

解説

3次関数のグラフが常に変曲点に関して点対称になることを示す典型問題である。(1)や(3)といった基本的な対称点の座標計算を誘導とし、それを恒等式に帰着させて証明する流れとなっている。 (4)についても、2次関数のような線対称性を3次関数は持たないことを、同様に恒等式の係数比較から簡潔に示せる。文字が多く計算が煩雑になりがちだが、すべてを展開しきらなくても最高次の係数のみに注目すれば矛盾が導ける点が重要である。