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九州大学 1966年理系第6問解説

方針・初手

初めて1の目が出るのが何回目かによって場合分けをして確率を求めます。サイコロを振る回数は最大で $n$ 回であり、1の目が続いてちょうど $r$ 回出るという事象は、「初めて1の目が出始める回数」を $k$ としたとき、$k$ の値によって振るのをやめる条件が変わることに注意します。

解法1

(1)

初めて1の目が出るのが $k$ 回目であるとする。このとき、1の目がちょうど $r$ 回続いて出るためには、$1 \leqq k \leqq n-r+1$ でなければならない。また、1回目から $k-1$ 回目まではすべて「1以外の目」が出続ける必要がある。

ここで、$k$ の値によって試行が終了する理由が以下の2つのパターンに分かれる。

(i) $k+r-1 < n$ すなわち $1 \leqq k \leqq n-r$ のとき $k$ 回目から $k+r-1$ 回目まで1の目が出た後、$k+r$ 回目に「1以外の目」が出て試行が終了する。この事象の確率は、

$$\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^r \cdot \frac{5}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^r \left(\frac{5}{6}\right)^k$$

(ii) $k+r-1 = n$ すなわち $k = n-r+1$ のとき $k$ 回目から $n$ 回目までちょうど $r$ 回1の目が出た時点で、振る回数の上限である $n$ 回に達して試行が終了する。この事象の確率は、

$$\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^r = \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \left(\frac{1}{6}\right)^r$$

1の目が続いてちょうど $r$ 回出る確率 $P(r)$ は、これら排反な事象の確率の和である。 $r = n$ のときは (i) の場合は存在せず、(ii) において $k=1$ となる確率 $\left(\frac{1}{6}\right)^n$ に一致する。 $1 \leqq r \leqq n-1$ のとき、$P(r)$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} P(r) &= \sum_{k=1}^{n-r} \left\{ \left(\frac{1}{6}\right)^r \left(\frac{5}{6}\right)^k \right\} + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \left(\frac{1}{6}\right)^r \\ &= \left(\frac{1}{6}\right)^r \left\{ \sum_{k=1}^{n-r} \left(\frac{5}{6}\right)^k + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \right\} \end{aligned}$$

ここで、等比数列の和の公式を用いると、

$$\sum_{k=1}^{n-r} \left(\frac{5}{6}\right)^k = \frac{\frac{5}{6} \left\{ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \right\}}{1 - \frac{5}{6}} = 5 \left\{ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \right\}$$

これを代入して整理する。

$$\begin{aligned} P(r) &= \left(\frac{1}{6}\right)^r \left[ 5 \left\{ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \right\} + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \right] \\ &= \left(\frac{1}{6}\right)^r \left\{ 5 - 4\left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \right\} \end{aligned}$$

この式は $r=n$ のとき、$P(n) = \left(\frac{1}{6}\right)^n (5-4) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$ となり、先ほど確認した結果と一致するため、$1 \leqq r \leqq n$ において成り立つ。

(2)

受けとる金額の期待値 $E$ は、定義より次のように表される。

$$E = \sum_{r=1}^{n} 6^{r-1} P(r)$$

(1)で求めた $P(r)$ を代入して計算する。

$$\begin{aligned} E &= \sum_{r=1}^{n} 6^{r-1} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^r \left\{ 5 - 4\left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \right\} \\ &= \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{6} \left\{ 5 - 4\left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \right\} \\ &= \frac{1}{6} \sum_{r=1}^{n} 5 - \frac{4}{6} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \\ &= \frac{5}{6}n - \frac{2}{3} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} \end{aligned}$$

ここで、$\sum_{r=1}^{n} \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r}$ は、項の順序を逆にすると初項 $1$、公比 $\frac{5}{6}$、項数 $n$ の等比数列の和となる。

$$\sum_{r=1}^{n} \left(\frac{5}{6}\right)^{n-r} = \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} + \left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} + \cdots + 1 = \frac{1 \cdot \left\{ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \right\}}{1 - \frac{5}{6}} = 6 \left\{ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \right\}$$

これを先ほどの式に代入する。

$$\begin{aligned} E &= \frac{5}{6}n - \frac{2}{3} \cdot 6 \left\{ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \right\} \\ &= \frac{5}{6}n - 4 + 4\left(\frac{5}{6}\right)^n \end{aligned}$$

解説

(1)では、「試行がいつ終了するか」に注目して事象を正確に切り分けることが重要です。1の目が $r$ 回続いた直後に1以外の目が出て終了するパターンと、1の目が $r$ 回続いた時点で全体の試行回数が $n$ 回に到達して終了するパターンの2つがあることを見落とさないようにしましょう。 (2)の期待値計算では、確率 $P(r)$ の中に含まれる $\left(\frac{1}{6}\right)^r$ と金額の $6^{r-1}$ がうまく打ち消し合い、計算しやすい形になるのがポイントです。