トップ› 九州大学› 1966年› 理系第5問

九州大学 1966年理系第5問解説

方針・初手

与えられたベクトル $\vec{u}$、$\vec{v}$ の成分を用いて、$\overrightarrow{OP}$ の成分を媒介変数 $t$ で表します。 (1) は得られた $x$、$y$ の連立方程式から三角関数を消去し、軌跡の方程式を求めます。 (2) は速度ベクトル $\left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$ を計算し、その大きさである速さの2乗の式を三角関数の倍角の公式等を用いて1つの三角関数にまとめ、値域を調べます。

解法1

(1)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。条件より $\vec{u} = (2, 1)$、$\vec{v} = (2, -1)$ であるから、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= (\sin 2\pi t) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + (\cos 2\pi t) \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2\sin 2\pi t + 2\cos 2\pi t \\ \sin 2\pi t - \cos 2\pi t \end{pmatrix} \end{aligned}$$

したがって、$x$、$y$ は次のように表される。

$$\begin{cases} x = 2\sin 2\pi t + 2\cos 2\pi t & \cdots \text{①} \\ y = \sin 2\pi t - \cos 2\pi t & \cdots \text{②} \end{cases}$$

①＋②$\times 2$ より、

$$x + 2y = 4\sin 2\pi t$$

①－②$\times 2$ より、

$$x - 2y = 4\cos 2\pi t$$

これらをそれぞれ変形すると、

$$\begin{cases} \sin 2\pi t = \frac{x+2y}{4} \\ \cos 2\pi t = \frac{x-2y}{4} \end{cases}$$

$\sin^2 2\pi t + \cos^2 2\pi t = 1$ に代入して $t$ を消去すると、

$$\left( \frac{x+2y}{4} \right)^2 + \left( \frac{x-2y}{4} \right)^2 = 1$$

$$\frac{x^2 + 4xy + 4y^2}{16} + \frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{16} = 1$$

$$\frac{2x^2 + 8y^2}{16} = 1$$

整理すると、

$$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$$

$t$ がすべての実数値をとるとき、$\sin 2\pi t$ と $\cos 2\pi t$ は $\sin^2 2\pi t + \cos^2 2\pi t = 1$ を満たす任意の実数をとりうるため、求める曲線は楕円全体である。

(2)

点 $P$ の速度ベクトルを $\vec{v_p}$、速さを $v$ とする。 ①、②の両辺を $t$ で微分すると、

$$\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= 4\pi \cos 2\pi t - 4\pi \sin 2\pi t \\ \frac{dy}{dt} &= 2\pi \cos 2\pi t + 2\pi \sin 2\pi t \end{aligned}$$

速さの2乗 $v^2$ は、

$$\begin{aligned} v^2 &= \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 \\ &= (4\pi \cos 2\pi t - 4\pi \sin 2\pi t)^2 + (2\pi \cos 2\pi t + 2\pi \sin 2\pi t)^2 \\ &= 16\pi^2 (\cos^2 2\pi t - 2\sin 2\pi t \cos 2\pi t + \sin^2 2\pi t) + 4\pi^2 (\cos^2 2\pi t + 2\sin 2\pi t \cos 2\pi t + \sin^2 2\pi t) \end{aligned}$$

ここで、$\sin^2 2\pi t + \cos^2 2\pi t = 1$ および $2\sin 2\pi t \cos 2\pi t = \sin 4\pi t$ を用いると、

$$\begin{aligned} v^2 &= 16\pi^2 (1 - \sin 4\pi t) + 4\pi^2 (1 + \sin 4\pi t) \\ &= 16\pi^2 - 16\pi^2 \sin 4\pi t + 4\pi^2 + 4\pi^2 \sin 4\pi t \\ &= 20\pi^2 - 12\pi^2 \sin 4\pi t \end{aligned}$$

$-1 \leqq \sin 4\pi t \leqq 1$ であるから、

$$20\pi^2 - 12\pi^2 \leqq 20\pi^2 - 12\pi^2 \sin 4\pi t \leqq 20\pi^2 - (-12\pi^2)$$

$$8\pi^2 \leqq v^2 \leqq 32\pi^2$$

$v \geqq 0$ であるから、各辺の正の平方根をとって、

$$2\sqrt{2}\pi \leqq v \leqq 4\sqrt{2}\pi$$

よって、速さの最大値は $4\sqrt{2}\pi$、最小値は $2\sqrt{2}\pi$ である。

解法2

(2) の別解

速度ベクトル $\vec{v_p} = \frac{d}{dt}\overrightarrow{OP}$ をベクトルのまま計算して大きさを求める。

$$\overrightarrow{OP} = (\sin 2\pi t)\vec{u} + (\cos 2\pi t)\vec{v}$$

両辺を $t$ で微分すると、

$$\vec{v_p} = (2\pi \cos 2\pi t)\vec{u} - (2\pi \sin 2\pi t)\vec{v}$$

速さの2乗 $v^2$ は $|\vec{v_p}|^2$ であるから、

$$\begin{aligned} v^2 &= |(2\pi \cos 2\pi t)\vec{u} - (2\pi \sin 2\pi t)\vec{v}|^2 \\ &= 4\pi^2 \left( \cos^2 2\pi t |\vec{u}|^2 - 2\sin 2\pi t \cos 2\pi t (\vec{u} \cdot \vec{v}) + \sin^2 2\pi t |\vec{v}|^2 \right) \end{aligned}$$

ここで、与えられた成分より、

$$|\vec{u}|^2 = 2^2 + 1^2 = 5$$

$$|\vec{v}|^2 = 2^2 + (-1)^2 = 5$$

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 2 + 1 \times (-1) = 3$$

これらを代入すると、

$$\begin{aligned} v^2 &= 4\pi^2 \left( 5\cos^2 2\pi t - 6\sin 2\pi t \cos 2\pi t + 5\sin^2 2\pi t \right) \\ &= 4\pi^2 \left\{ 5(\cos^2 2\pi t + \sin^2 2\pi t) - 3(2\sin 2\pi t \cos 2\pi t) \right\} \\ &= 4\pi^2 (5 - 3\sin 4\pi t) \end{aligned}$$

$-1 \leqq \sin 4\pi t \leqq 1$ より、

$$4\pi^2 (5 - 3) \leqq v^2 \leqq 4\pi^2 (5 + 3)$$

$$8\pi^2 \leqq v^2 \leqq 32\pi^2$$

$v \geqq 0$ より、最大値は $\sqrt{32\pi^2} = 4\sqrt{2}\pi$、最小値は $\sqrt{8\pi^2} = 2\sqrt{2}\pi$ となる。

解説

(1)の媒介変数表示された曲線の軌跡を求める際、基本通りに $\sin$ と $\cos$ について解き、三角関数の相互関係である $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入して $t$ を消去する手法が確実です。(2)の速さの計算では、成分を計算して後から2乗和をとるか、ベクトルの絶対値の2乗を展開してから内積等の値を代入するかで計算量が変化します。この問題では内積計算も平易なため、解法2のようにベクトルのまま処理した方が式の見通しが良くなり、計算ミスのリスクを減らすことができます。