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九州大学 1983年理系第4問解説

方針・初手

1回のさいころ投げでA君、B君がそれぞれ玉を得る確率をまず求める。独立な反復試行において、「特定の回でゲームが終了する」確率を計算する問題である。終了する回（最後）の結果と、それまでの過程を分けて考えることがポイントとなる。

解法1

1回の試行において、さいころの目が1または6である確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、2, 3, 4, 5である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。すなわち、1回の試行でA君が赤玉を得る確率は $\frac{1}{3}$、B君が白玉を得る確率は $\frac{2}{3}$ である。

(1)

B君が白玉を3個得てゲームが終了するのは、さいころを投げる回数が3回または4回の場合である。それぞれの確率を求め、足し合わせる。

(i) 3回目でB君が白玉を3個得て終了する場合

3回連続でB君が白玉を得ればよいので、その確率は

$$\left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}$$

(ii) 4回目でB君が白玉を3個得て終了する場合

3回目までにA君が赤玉を1個、B君が白玉を2個得ており、4回目にB君が白玉を得ればよい。その確率は

$${}_3\mathrm{C}_1 \left( \frac{1}{3} \right)^1 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times \frac{2}{3} = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$$

(i) と (ii) は互いに排反であるから、求める確率は

$$\frac{8}{27} + \frac{8}{27} = \frac{16}{27}$$

(2)

A君が2個の赤玉を得るか、B君が3個の白玉を得ればゲームが終了するため、ゲームは最長でも $2+3-1=4$ 回で必ず終了する。したがって、確率変数 $X$ のとりうる値は $2, 3, 4$ である。各値をとる確率 $P(X=k)$ をそれぞれ計算する。

$X=2$ となるのは、2回連続でA君が赤玉を得て終了する場合であるから、

$$P(X=2) = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$$

$X=3$ となるのは、3回目でA君が2個目の赤玉を得て終了する場合と、3回目でB君が3個目の白玉を得て終了する場合がある。 3回目でA君が終了する確率は、2回目までにA君が赤玉を1個、B君が白玉を1個得て、3回目にA君が赤玉を得る確率なので、

$${}_2\mathrm{C}_1 \left( \frac{1}{3} \right)^1 \left( \frac{2}{3} \right)^1 \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$$

3回目でB君が終了する確率は、(1)の (i) より $\frac{8}{27}$ である。これらは互いに排反であるから、

$$P(X=3) = \frac{4}{27} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$$

$X=4$ となる確率 $P(X=4)$ は、確率の総和が $1$ であることを利用して余事象から求める。

$$P(X=4) = 1 - \{ P(X=2) + P(X=3) \} = 1 - \left( \frac{1}{9} + \frac{4}{9} \right) = \frac{4}{9}$$

以上より、$X$の確率分布が求まる。

解説

反復試行の確率に関する典型問題である。「$n$ 回目でゲームが終わる」という事象を扱う際、単に $n$ 回投げて必要な回数だけ事象が起こる確率を計算してしまうミスが多い。必ず「$n-1$ 回目までの状況（リーチ状態）」と「$n$ 回目に条件を満たす事象が起こること」に分けて立式することが重要である。また、確率分布を求める問題では、確率の総和が $1$ になることを活用すると計算の負担を減らすことができる。直接計算した場合には、総和が $1$ になるかを確認することで検算になる。