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九州大学 1994年理系第5問解説

方針・初手

カード1枚を無作為に選び、そのうちの一面が上になるという操作は、10枚のカードの持つ合計20面の中から1面を無作為に選び、それを上面にする操作と同じである。この「面」を基準にして場合の数を数え上げることで、条件付き確率を含む各問題を見通しよく解くことができる。

解法1

10枚のカードにはそれぞれ2つの面があるため、全体で20の面が存在し、どの面が上面になるかはすべて同様に確からしい。カードのタイプごとに面の色を分類すると以下のようになる。

第1のタイプ（両面黒、3枚）：黒の面が6つ
第2のタイプ（両面白、3枚）：白の面が6つ
第3のタイプ（片面白・片面黒、4枚）：白の面が4つ、黒の面が4つ

(1)

上面が白である事象を $A$、下面が黒である事象を $B$ とし、求める条件付き確率を $P_A(B)$ とする。

全体の中で白の面は、第2のタイプに含まれる6つと、第3のタイプに含まれる4つの、合計10個ある。したがって、上面が白になる場合の数は10通りである。

このうち、下面が黒となるのは、選ばれた白の面が第3のタイプのカードのものである場合である。第3のタイプの白の面は4つあるため、事象 $A \cap B$ が起こる場合の数は4通りである。

よって、求める確率は

$$P_A(B) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

である。

(2)

(i)

上面と同じ色を答えて当たるのは、選んだカードの上面と下面が同じ色であるとき、すなわち両面が同色のカード（第1のタイプまたは第2のタイプ）を引いたときである。

両面が同色のカードは合計で $3 + 3 = 6$ 枚ある。全体でカードは10枚であるため、これらを引く確率は

$$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

である。

(ii)

上面と異なる色を答えて当たるのは、選んだカードの上面と下面が異なる色であるとき、すなわち両面が異色のカード（第3のタイプ）を引いたときである。

第3のタイプのカードは4枚あるため、これを引く確率は

$$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

である。

(iii)

上面の色に関係なく、平等な確率（すなわち $\frac{1}{2}$ の確率）で白または黒と答える。

このとき、下面の色が実際に白であるか黒であるかに関わらず、解答者がその色と一致する答えを無作為に選ぶ確率は常に $\frac{1}{2}$ となる。したがって、答が当たる確率は

$$\frac{1}{2}$$

である。

解説

「無作為に選んだカードを置く」という操作を、「全ての面から1つを無作為に選んで上にする」と言い換えるのが、この種の条件付き確率における典型的な着眼点である。(2)の (i) や (ii) は、上面の色によって場合分けして確率の乗法定理から計算することも可能だが、「どのようなカードを引けば条件を満たすか」に帰着させることで計算を大幅に省略できる。